Исследовать ряд на признак деламбера верхний предел плюс бесконечность

Предмет: Математика (Высшая математика, математический анализ)

Раздел: Ряды и их сходимость (Признаки сходимости рядов)

Задание: Исследовать ряд на признак Даламбера с верхним пределом плюс бесконечность, где $\text{(}n\to \mathrm{\infty }\text{)}$.

Ряд: $\text{(}\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^{nx}}\text{)}$.

Шаг 1. Запишем общий член ряда

У нас есть ряд: $\text{[}\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^{nx}}\text{]}$

Это сумма для каждого $\text{(}n\text{)}$ от 1 до бесконечности такого выражения: $\text{[}{a}_n=\frac{1}{n^{nx}}.\text{]}$

Шаг 2. Формулировка признака Даламбера

Признак Даламбера — это один из классических признаков для исследования сходимости ряда с положительными членами. Согласно этому признаку, для ряда $\text{(}\sum a_n\text{)}$, если существует предел: $\text{[}L=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|,\text{]}$ то:

• если $\text{(}L<1\text{)}$, то ряд сходится;
• если $\text{(}L>1\text{)}$, то ряд расходится;
• если $\text{(}L=1\text{)}$, признак Даламбера не дает ответа, и нужно применять другие методы.

Шаг 3. Применим признак Даламбера

Для последовательности $\text{(}{a}_n=\frac{1}{n^{nx}}\text{)}$, найдем отношение $\text{(}\frac{a_{n+1}}{a_n}\text{)}$. $\text{[}\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{\frac{1}{(n+1{)}^{(n+1)x}}}{\frac{1}{n^{nx}}}=\frac{n^{nx}}{(n+1{)}^{(n+1)x}}.\text{]}$

Теперь нужно упростить это выражение.

Шаг 4. Упрощение выражения

Рассмотрим выражение детально: $\text{[}\frac{n^{nx}}{(n+1{)}^{(n+1)x}}=\frac{n^{nx}}{(n+1{)}^{nx}\cdot (n+1{)}^x}.\text{]}$

Запишем как: $\text{[}=\frac{{\left(\frac{n}{n+1}\right)}^{nx}}{(n+1{)}^x}.\text{]}$

Теперь рассмотрим предел этого выражения при $\text{(}n\to \mathrm{\infty }\text{)}$.

Шаг 5. Переход к пределу

Рассмотрим два множителя отдельно:

1. $\text{(}{\left(\frac{n}{n+1}\right)}^{nx}\text{)}$ при $\text{(}n\to \mathrm{\infty }\text{)}$ можно переписать следующим образом: $\text{[}{\left(\frac{n}{n+1}\right)}^{nx}={(1-\frac{1}{n+1})}^{nx}.\text{]}$ Мы можем воспользоваться приближением: $\text{[}{(1-\frac{1}{n+1})}^{nx}\approx e^{-x}\text{ при }n\to \mathrm{\infty }.\text{]}$ То есть, первый множитель стремится к $\text{(}{e}^{-x}\text{)}$.
2. Второй множитель: $\text{[}(n+1{)}^{-x}\text{ стремится к }{n}^{-x}.\text{]}$

Шаг 6. Общий предел

Объединим эти результаты. Итак, у нас получается: $\text{[}\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{a_{n+1}}{a_n}=e^{-x}.\text{]}$

Шаг 7. Итог

Теперь применим критерий Даламбера, используя найденный предел:

• Если $\text{(}{e}^{-x}<1\text{)}$, т.е. при $\text{(}x>0\text{)}$, ряд сходится.
• Если $\text{(}{e}^{-x}>1\text{)}$, соответственно, при $\text{(}x<0\text{)}$, ряд расходится.
• Если $\text{(}x=0\text{)}$, то $\text{(}{e}^0=1\text{)}$, и признак Даламбера не применим.

Таким образом:

• При $\text{(}x>0\text{)}$ ряд сходится.
• При $\text{(}x\le 0\text{)}$ ряд расходится.

Ответ:

Ряд $\text{(}\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^{nx}}\text{)}$ сходится при $\text{(}x>0\text{)}$ и расходится при $\text{(}x\le 0\text{)}$.