Исследовать ряд на признак деламбера верхний предел плюс бесконечность

Предмет: Математика (Высшая математика, математический анализ)

Раздел: Ряды и их сходимость (Признаки сходимости рядов)

Задание: Исследовать ряд на признак Даламбера с верхним пределом плюс бесконечность, где \( n \to \infty \).

Ряд: \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{nx}} \).

Шаг 1. Запишем общий член ряда

У нас есть ряд: \[ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{nx}} \]

Это сумма для каждого \( n \) от 1 до бесконечности такого выражения: \[ a_n = \frac{1}{n^{nx}}. \]

Шаг 2. Формулировка признака Даламбера

Признак Даламбера — это один из классических признаков для исследования сходимости ряда с положительными членами. Согласно этому признаку, для ряда \( \sum a_n \), если существует предел: \[ L = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right|, \] то:

• если \( L < 1 \), то ряд сходится;
• если \( L > 1 \), то ряд расходится;
• если \( L = 1 \), признак Даламбера не дает ответа, и нужно применять другие методы.

Шаг 3. Применим признак Даламбера

Для последовательности \( a_n = \frac{1}{n^{nx}} \), найдем отношение \( \frac{a_{n+1}}{a_n} \). \[ \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{\frac{1}{(n+1)^{(n+1)x}}}{\frac{1}{n^{nx}}} = \frac{n^{nx}}{(n+1)^{(n+1)x}}. \]

Теперь нужно упростить это выражение.

Шаг 4. Упрощение выражения

Рассмотрим выражение детально: \[ \frac{n^{nx}}{(n+1)^{(n+1)x}} = \frac{n^{nx}}{(n+1)^{nx} \cdot (n+1)^x}. \]

Запишем как: \[ = \frac{\left(\frac{n}{n+1}\right)^{nx}}{(n+1)^x}. \]

Теперь рассмотрим предел этого выражения при \( n \to \infty \).

Шаг 5. Переход к пределу

Рассмотрим два множителя отдельно:

1. \( \left( \frac{n}{n+1} \right)^{nx} \) при \( n \to \infty \) можно переписать следующим образом: \[ \left( \frac{n}{n+1} \right)^{nx} = \left( 1 - \frac{1}{n+1} \right)^{nx}. \] Мы можем воспользоваться приближением: \[ \left( 1 - \frac{1}{n+1} \right)^{nx} \approx e^{-x} \text{ при } n \to \infty. \] То есть, первый множитель стремится к \( e^{-x} \).
2. Второй множитель: \[ (n+1)^{-x} \text { стремится к } n^{-x}. \]

Шаг 6. Общий предел

Объединим эти результаты. Итак, у нас получается: \[ \lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = e^{-x}. \]

Шаг 7. Итог

Теперь применим критерий Даламбера, используя найденный предел:

• Если \( e^{-x} < 1 \), т.е. при \( x > 0 \), ряд сходится.
• Если \( e^{-x} > 1 \), соответственно, при \( x < 0 \), ряд расходится.
• Если \( x = 0 \), то \( e^0 = 1 \), и признак Даламбера не применим.

Таким образом:

• При \( x > 0 \) ряд сходится.
• При \( x \leq 0 \) ряд расходится.

Ответ:

Ряд \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{nx}} \) сходится при \( x > 0 \) и расходится при \( x \leq 0 \).