Исследовать ряд 1/((n+1)*ln^2(n+1)) при n ,от 2 до бесконечности с положительным членами на сходимость

Условие:

Исследовать ряд 1/((n+1)*ln^2(n+1)) при n ,от 2 до бесконечности с положительным членами на сходимость

Решение:

Это задание относится к предмету "Математический анализ", раздел "Ряды".

Мы призваны исследовать ряд \(\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{(n+1) \ln^2(n+1)}\) на сходимость. Для этого рассмотрим общий член ряда \(\frac{1}{(n+1) \ln^2(n+1)}\).

Шаг 1: Применение признака сравнения для исследования сходимости

Для исследования сходимости этого ряда можно использовать различные методы. Один из них — признак сравнения с базовым сходящимся или расходящимся рядом. Рассмотрим для сравнения ряд вида:

\[\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n (\ln n)^p}\]

Известно, что ряд \(\sum \frac{1}{n (\ln n)^p}\) сходится, если \(p > 1\) и расходится, если \(p \le 1\).

Шаг 2: Сравнение

Наш ряд можно переформулировать как:

\[\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{(n+1) \ln^2(n+1)}\]

Если \(n\) достаточно велико, то \(n+1 \approx n\). Поэтому ряд:

\[\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{(n+1) \ln^2(n+1)}\]

можно приблизительно сравнить с рядом:

\[\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n \ln^2 n}\]

Шаг 3: Признак сходимости \( \sum \frac{1}{n (\ln n)^p} \)

Как мы уже знаем, \(\sum \frac{1}{n (\ln n)^p}\) сходится, если \(p > 1\) и расходится, если \(p \le 1\). В нашем случае \(p = 2\), что больше 1. Это значит, что ряд \(\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n \ln^2 n}\) сходится.

Шаг 4: Заключение о сходимости по признаку сравнения

Так как \( \frac{1}{(n+1) \ln^2(n+1)}\) асимптотически близок к \( \frac{1}{n \ln^2 n}\) и основной ряд сходится, то и наш исходный ряд также сходится. Мы можем это утверждать по стандартному признаку сравнения.

Вывод

Ряд \(\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{(n+1) \ln^2(n+1)}\) сходится.

Не нашли нужного вам решения? Оставьте заявку и наши авторы быстро и качественно помогут вам с решением.
Оставить заявку
Работа вам нужна срочно. Не волнуйтесь, уложимся!

Заполните, пожалуйста, данные для автора:

  • 22423 авторов готовы помочь тебе.
  • 2402 онлайн