Работа вам нужна срочно. Не волнуйтесь, уложимся!
Заполните, пожалуйста, данные для автора:
- 22423 авторов готовы помочь тебе.
- 2402 онлайн
Исследовать ряд 1/((n+1)*ln^2(n+1)) при n ,от 2 до бесконечности с положительным членами на сходимость
Мы призваны исследовать ряд \(\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{(n+1) \ln^2(n+1)}\) на сходимость. Для этого рассмотрим общий член ряда \(\frac{1}{(n+1) \ln^2(n+1)}\).
Для исследования сходимости этого ряда можно использовать различные методы. Один из них — признак сравнения с базовым сходящимся или расходящимся рядом. Рассмотрим для сравнения ряд вида:
\[\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n (\ln n)^p}\]
Известно, что ряд \(\sum \frac{1}{n (\ln n)^p}\) сходится, если \(p > 1\) и расходится, если \(p \le 1\).
Наш ряд можно переформулировать как:
\[\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{(n+1) \ln^2(n+1)}\]
Если \(n\) достаточно велико, то \(n+1 \approx n\). Поэтому ряд:
\[\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{(n+1) \ln^2(n+1)}\]
можно приблизительно сравнить с рядом:
\[\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n \ln^2 n}\]
Как мы уже знаем, \(\sum \frac{1}{n (\ln n)^p}\) сходится, если \(p > 1\) и расходится, если \(p \le 1\). В нашем случае \(p = 2\), что больше 1. Это значит, что ряд \(\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n \ln^2 n}\) сходится.
Так как \( \frac{1}{(n+1) \ln^2(n+1)}\) асимптотически близок к \( \frac{1}{n \ln^2 n}\) и основной ряд сходится, то и наш исходный ряд также сходится. Мы можем это утверждать по стандартному признаку сравнения.
Ряд \(\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{(n+1) \ln^2(n+1)}\) сходится.