Исследовать ряд на сходимость.

Пример 1:

Исследовать ряд на сходимость:

Решение от преподавателя:

общий член ряда имеет вид , при этом для n≥1 выполнены неравенства

       

Ряд  расходится (гармонический ряд), следовательно, расходится и исходный ряд (по признаку сравнения).

Пример 2:

Исследовать числовой ряд на сходимость:

Решение от преподавателя:

Пример 3:

Исследовать ряд на сходимость:

Решение от преподавателя:

Пример 4:

Исследовать ряд на сходимость:

Решение от преподавателя:

Пример 5:

Исследовать ряд на сходимость:

Решение от преподавателя:

общий член ряда имеет вид , при этом

Поскольку , для этого ряда не выполнено необходимое условие сходимости - ряд расходится.

Пример 6:

Исследовать на сходимость числовой ряд.

Решение от преподавателя:

Пример 7:

Исследовать ряд на сходимость:

Решение от преподавателя:

Пример 8:

Исследовать ряд на сходимость:

Решение от преподавателя:

Пример 9:

Исследовать ряд на сходимость:

Решение от преподавателя:

: общий член ряда имеет вид , при этом

         

Следовательно, данный ряд сходится (по признаку Даламбера).

Пример 10:

Исследовать на абсолютную и условную сходимость:

Решение от преподавателя:

Пример 11:

Исследовать ряд на сходимость:

Решение от преподавателя:

Пример 12:

Исследовать ряд на сходимость:

Решение от преподавателя:

Пример 13:

Исследовать ряд на сходимость:

Решение от преподавателя:

общий член ряда имеет вид , при этом для n≥1 выполнены неравенства

       

Ряд  сходится (обобщенный гармонический ряд с параметром p=11/6>1), следовательно, сходится и исходный ряд (по признаку сравнения).

Пример 14:

Найти область сходимости степенного ряда.

Решение от преподавателя:

Пример 15:

Исследовать ряд на сходимость:

Решение от преподавателя:

Пример 16:

Исследовать на сходимость ряд:

Решение от преподавателя:

Пример 17:

Исследовать ряд на сходимость:

Решение от преподавателя:

: общий член ряда имеет вид , при этом для n≥1 выполнены неравенства

       

Ряд  сходится (геометрическая прогрессия со знаменателем q=2/3<1), следовательно, сходится и исходный ряд (по признаку сравнения).

Пример 18:

Исследовать ряд на сходимость:

Решение от преподавателя:

Пример 19:

Исследовать ряд на сходимость:

Решение от преподавателя:

Пример 20:

Исследовать на сходимость ряд:

Решение от преподавателя:

Пример 21:

Исследовать ряд на сходимость:

Решение от преподавателя:

: общий член ряда имеет вид , при этом

       

Следовательно, данный ряд сходится (по признаку Даламбера).

Пример 22:

Исследовать ряд на сходимость:

Решение от преподавателя:

Пример 23:

Исследовать сходимость ряда:

.

Решение от преподавателя:

Пример 24:

Исследовать на сходимость ряд:

Решение от преподавателя:

Пример 25:

Исследовать ряд на сходимость:

Решение от преподавателя:

Используем интегральный признак сходимости.

Расходится, следовательно, ряд тоже расходится.

Ответ: Ряд расходится.

Пример 26:

Исследовать ряд на сходимость:

Решение от преподавателя:

Пример 27:

Исследовать сходимость ряда c

Решение от преподавателя:

Пример 28:

Исследовать ряд на сходимость:

Решение от преподавателя:

Пример 29:

Исследовать сходимость степенного ряда:

Решение от преподавателя:

Пример 30:

Исследовать ряд на сходимость:

Решение от преподавателя:

Пример 31:

Исследовать ряд на сходимость:

Решение от преподавателя:

Пример 32:

Исследовать сходимость числового ряда

Решение от преподавателя: