Исследовать на сходимость знакопеременный ряд. Указать используемый признак сходимости

Условие:

Решение:

Задача требует исследовать на сходимость знакопеременные ряды. Давайте исследуем их по одному. а) Рассмотрим ряд \(\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n (1 - \cos(\frac{1}{\sqrt{n}}))\). Для исследования знакопеременного ряда на сходимость можно использовать признак Лейбница для знакочередующихся рядов, который говорит, что если последовательность \(\{a_n\}\) обладает следующими свойствами: 1) \(a_{n+1} \leq a_n\) для всех \(n\) (последовательность монотонно убывает), 2) \(\lim_{n \to \infty} a_n = 0\), то ряд \(\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n} a_n\) сходится. В данном случае \(a_n = 1 - \cos(\frac{1}{\sqrt{n}})\). После некоторых преобразований используя эквивалентные бесконечно малые, можно увидеть, что \(a_n\) убывает и стремится к нулю по мере увеличения \(n\), поэтому можно сказать, что данный ряд сходится по признаку Лейбница. б) Нужно исследовать ряд \(\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n \frac{n!}{n^2+1}\). В данном случае исследование ряда на сходимость может быть более сложным, поскольку \(n!\) растет очень быстро. Однако можно попытаться сравнить данный ряд с факториалом с рядом, который бы сходился абсолютно используя радикальный признак Коши или признак Даламбера. Данный ряд не сходится абсолютно, потому что факториал растет быстрее, чем любая степень \(n\), и можно показать, что предел отношения последовательных членов ряда равен бесконечности, что не удовлетворяет условию абсолютной сходимости. Тем не менее, необходимо провести дополнительные исследования, чтобы определить условную сходимость ряда. Например, можно использовать интегральный признак сходимости для установления поведения ряда. Если у ряда факториал оказывается в числителе и медленно растущая функция в знаменателе, он может сходиться условно, как один из примеров - ряд Лейбница для \(\pi/4 = 1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + \ldots\), где ряд сходится условно. В данном случае для окончательной оценки сходимости ряда б) следует воспользоваться более сложными признаками сходимости или специализированными методами анализа.