Исследовать на сходимость указанные ряды с положительными членами

Предмет: Математика
Раздел: Математический анализ – Ряды с положительными членами, исследование на сходимость

Дан числовой ряд:

 \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{7n - 1}{5^n (n+1)!} 

Нужно исследовать этот ряд на сходимость.

Шаг 1: Проверим, что члены ряда положительны

Для всех n \geq 1:

• 7n - 1 > 0,
• 5^n > 0,
• (n+1)! > 0.

Следовательно, каждый член ряда положителен:  a_n = \frac{7n - 1}{5^n (n+1)!} > 0 

Шаг 2: Используем признак Даламбера (признак отношения)

Рассмотрим предел отношения соседних членов ряда:

 \lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{7(n+1) - 1}{5^{n+1} (n+2)!}}{\frac{7n - 1}{5^n (n+1)!}} = \lim_{n \to \infty} \frac{(7n + 6)(n+1)!}{5 \cdot (7n - 1)(n+2)(n+1)!} 

Сократим (n+1)!:

 = \lim_{n \to \infty} \frac{7n + 6}{5(7n - 1)(n+2)} 

Теперь найдём предел:

Числитель: 7n + 6 \sim 7n
Знаменатель: 5(7n - 1)(n+2) \sim 5 \cdot 7n \cdot n = 35n^2

Следовательно:  \lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = \lim_{n \to \infty} \frac{7n + 6}{5(7n - 1)(n+2)} = 0 

Так как предел отношения меньше 1, по признаку Даламбера ряд сходится.

Ответ:

<✅> Ряд сходится.