Исследовать на сходимость степенной ряд

Предмет: Математика

Раздел: Ряды (степенные ряды)

Дан степенной ряд:

\sum_{n=1}^{\infty} \frac{5^n}{4^{n+1} \sqrt{n^2+1}} x^n.

Необходимо исследовать его на сходимость. Для этого используем радиус сходимости и признак Абеля.

1. Общий вид коэффициента

Коэффициент при x^n имеет вид:

a_n = \frac{5^n}{4^{n+1} \sqrt{n^2+1}} = \frac{5^n}{4 \cdot 4^n \sqrt{n^2+1}} = \frac{1}{4} \cdot \frac{\left(\frac{5}{4}\right)^n}{\sqrt{n^2+1}}.

2. Применение признака Д’Аламбера

Для нахождения радиуса сходимости используем признак Д’Аламбера:

 \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right|. 

Подставим a_n:

 \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{\frac{1}{4} \cdot \frac{\left(\frac{5}{4}\right)^{n+1}}{\sqrt{(n+1)^2+1}}}{\frac{1}{4} \cdot \frac{\left(\frac{5}{4}\right)^n}{\sqrt{n^2+1}}} = \frac{\left(\frac{5}{4}\right)^{n+1} \sqrt{n^2+1}}{\left(\frac{5}{4}\right)^n \sqrt{(n+1)^2+1}}. 

Упростим:

 \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{\frac{5}{4} \cdot \sqrt{n^2+1}}{\sqrt{(n+1)^2+1}}. 

Найдем предел при n \to \infty:

 \lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{5}{4} \cdot \sqrt{n^2+1}}{\sqrt{(n+1)^2+1}} = \frac{5}{4} \cdot \lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt{n^2+1}}{\sqrt{n^2 + 2n + 2}}. 

В числителе и знаменателе доминируют члены n^2, поэтому:

 \lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt{n^2+1}}{\sqrt{n^2 + 2n + 2}} = \lim_{n \to \infty} \sqrt{\frac{n^2+1}{n^2 + 2n + 2}} = \sqrt{\frac{1}{1}} = 1. 

Следовательно:

 \lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{5}{4}. 

3. Радиус сходимости

По признаку Д’Аламбера ряд сходится, если:

 \left| x \right| < R, \quad R = \frac{1}{\lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n}}. 

Подставим:

 R = \frac{1}{\frac{5}{4}} = \frac{4}{5}. 

Таким образом, радиус сходимости ряда:

 R = \frac{4}{5}. 

4. Интервал сходимости

Ряд сходится при:

 \left| x \right| < \frac{4}{5}. 

Необходимо дополнительно исследовать края интервала x = \pm \frac{4}{5} на сходимость. Это делается подстановкой крайних значений x в ряд и применением признаков сходимости.

Ответ:

1. Радиус сходимости: R = \frac{4}{5}.
2. Интервал сходимости: \left| x \right| < \frac{4}{5}. Края интервала требуют дополнительного исследования.