Исследовать на сходимость следующие ряды

Предмет: Математика
Раздел: Математический анализ (Исследование рядов на сходимость)

Дан ряд:

\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2n+1}{(n+1)^2(n+2)^2}

Необходимо исследовать его на сходимость.

Шаг 1. Оценка поведения общего члена ряда

Общий член ряда:

a_n = \frac{2n+1}{(n+1)^2(n+2)^2}

Для исследования сходимости можно воспользоваться признаками сравнения или эквивалентностью общего члена с известным рядом. Сначала упростим выражение для оценки асимптотики:

При больших n доминирующими членами в числителе и знаменателе будут 2n и n^4, соответственно. Таким образом, общий член асимптотически ведёт себя как:

a_n \sim \frac{2n}{n^4} = \frac{2}{n^3}

Шаг 2. Сравнение с эталонным рядом

Сравним данный ряд с эталонным рядом вида:

\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^p}

где p = 3. Известно, что ряд \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^p} сходится, если p > 1. Здесь p = 3 > 1, следовательно, эталонный ряд сходится.

Шаг 3. Признак сравнения

Для применения признака сравнения перепишем исходный член ряда:

a_n = \frac{2n+1}{(n+1)^2(n+2)^2}.

Для достаточно больших n имеем:

\frac{2n+1}{(n+1)^2(n+2)^2} \leq \frac{2n}{n^4} = \frac{2}{n^3}.

Так как ряд \sum_{n=1}^\infty \frac{2}{n^3} сходится, то по признаку сравнения исходный ряд также сходится.

Шаг 4. Итог

Ряд \sum_{n=1}^\infty \frac{2n+1}{(n+1)^2(n+2)^2} сходится.