Исследовать на сходимость ряд с положительными членами. Указать используемый признак сходимости

Условие:

Решение:

На изображении представлены два ряда, которые необходимо исследовать на сходимость. Для анализа каждого из рядов мы можем использовать различные признаки сходимости. Давайте исследуем каждый из них по отдельности. а) Ряд \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(3n^4 + 5)^{n^5}}{(3n^4 + 1)^{n^5}} \cdot \frac{1}{2^n}\) Для исследования сходимости этого ряда сначала заметим, что выражение в степени \(n^5\) в числителе и знаменателе очень близко друг к другу при больших \(n\), так что дробь \(\frac{(3n^4 + 5)^{n^5}}{(3n^4 + 1)^{n^5}}\) будет стремиться к 1. Следовательно, основным фактором здесь будет \(\frac{1}{2^n}\), которое убывает экспоненциально. Для больших значений \(n\) данное выражение будет вести себя подобно геометрической прогрессии с знаменателем \(\frac{1}{2}\), которая является сходящейся. Таким образом, мы можем заключить, что ряд сходится. б) Ряд \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{5^{n+n^5}}{n!}\) Этот ряд можно сравнить с общим рядом \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{a^n}{n!}\), который представляет из себя ряд Тейлора для экспоненты \(e^a\) при \(a = 5 + 5^{n^4}\). Ряд Тейлора для экспоненты сходится для всех \(a\), так как экспонента является целой аналитической функцией. Однако, в нашем случае степень растёт очень быстро благодаря \(5^{n^4}\), что приводит к существенному увеличению членов ряда. Для исследования сходимости этого ряда можно использовать признак сравнения или признак Даламбера. Например, с использованием признака Даламбера мы получаем: \[ \lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = \lim_{n \to \infty} \frac{5^{(n+1)+(n+1)^5}}{(n+1)!} \cdot \frac{n!}{5^{n+n^5}} = \lim_{n \to \infty} \frac{5 \cdot 5^{(n+1)^5 - n^5}}{n+1}. \] Это выражение стремится к бесконечности, так как показательная функция в числителе растет намного быстрее линейной функции в знаменателе. Это указывает на расходимость ряда.