Исследовать на сходимость ряд с положительными членами. Указать используемый признак сходимости

На изображении представлены два ряда, которые необходимо исследовать на сходимость.

Для анализа каждого из рядов мы можем использовать различные признаки сходимости. Давайте исследуем каждый из них по отдельности.

а) Ряд \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(3n^4 + 5)^{n^5}}{(3n^4 + 1)^{n^5}} \cdot \frac{1}{2^n}\)

Для исследования сходимости этого ряда сначала заметим, что выражение в степени \(n^5\) в числителе и знаменателе очень близко друг к другу при больших \(n\), так что дробь \(\frac{(3n^4 + 5)^{n^5}}{(3n^4 + 1)^{n^5}}\) будет стремиться к 1. Следовательно, основным фактором здесь будет \(\frac{1}{2^n}\), которое убывает экспоненциально. Для больших значений \(n\) данное выражение будет вести себя подобно геометрической прогрессии с знаменателем \(\frac{1}{2}\), которая является сходящейся. Таким образом, мы можем заключить, что ряд сходится.

б) Ряд \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{5^{n+n^5}}{n!}\)

Этот ряд можно сравнить с общим рядом \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{a^n}{n!}\), который представляет из себя ряд Тейлора для экспоненты \(e^a\) при \(a = 5 + 5^{n^4}\). Ряд Тейлора для экспоненты сходится для всех \(a\), так как экспонента является целой аналитической функцией. Однако, в нашем случае степень растёт очень быстро благодаря \(5^{n^4}\), что приводит к существенному увеличению членов ряда. Для исследования сходимости этого ряда можно использовать признак сравнения или признак Даламбера. Например, с использованием признака Даламбера мы получаем:

\[ \lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = \lim_{n \to \infty} \frac{5^{(n+1)+(n+1)^5}}{(n+1)!} \cdot \frac{n!}{5^{n+n^5}} = \lim_{n \to \infty} \frac{5 \cdot 5^{(n+1)^5 - n^5}}{n+1}. \]

Это выражение стремится к бесконечности, так как показательная функция в числителе растет намного быстрее линейной функции в знаменателе. Это указывает на расходимость ряда.