Исследовать на сходимость ряд с положительными членами

Условие:

Исследовать на сходимость ряд с положительными членами

Условие: Исследовать на сходимость ряд с положительными членами

Решение:

Предмет: Математика

Раздел: Математический анализ (Ряды)

Исследуем на сходимость ряд с положительными членами:

 \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n-7}{\sqrt[3]{n^8 + 2}}. 

Анализ ряда:

Члены ряда положительны, так как при ( n \geq 7 ), числитель ( n - 7 \geq 0 ), а знаменатель ( \sqrt[3]{n^8 + 2} > 0 ). Поэтому можно применять критерии сходимости для рядов с положительными членами.


1. Применим признак сравнения:

Рассмотрим асимптотику общего члена:

Для больших ( n ), ( n^8 \gg 2 ), поэтому:  \sqrt[3]{n^8 + 2} \sim \sqrt[3]{n^8} = n^{8/3}. 

Следовательно, общий член ряда асимптотически ведёт себя как:  a_n = \frac{n - 7}{\sqrt[3]{n^8 + 2}} \sim \frac{n}{n^{8/3}} = \frac{1}{n^{5/3}}. 

Теперь сравним данный ряд с рядом вида:  \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{p}},  где ( p = \frac{5}{3} ).

Известно, что ряд ( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{p}} ) сходится при ( p > 1 ). В данном случае ( p = \frac{5}{3} > 1 ), значит, сравниваемый ряд сходится.


2. Применим признак предельного сравнения:

Рассчитаем предел отношения общего члена ряда ( a_n ) и сравниваемого ряда ( b_n = \frac{1}{n^{5/3}} ):  \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n} = \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{n - 7}{\sqrt[3]{n^8 + 2}}}{\frac{1}{n^{5/3}}} = \lim_{n \to \infty} \frac{(n - 7)n^{5/3}}{\sqrt[3]{n^8 + 2}}. 

Для больших ( n ), ( n - 7 \sim n ), поэтому:  \lim_{n \to \infty} \frac{(n - 7)n^{5/3}}{\sqrt[3]{n^8 + 2}} \sim \lim_{n \to \infty} \frac{n \cdot n^{5/3}}{n^{8/3}} = \lim_{n \to \infty} \frac{n^{8/3}}{n^{8/3}} = 1. 

Предел конечен и равен 1, значит, по признаку предельного сравнения исследуемый ряд и ряд ( \sum{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{5/3}} ) имеют одинаковую сходимость. Так как ( \sum{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{5/3}} ) сходится, то и исходный ряд сходится.


Ответ:

Ряд  \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n-7}{\sqrt[3]{n^8 + 2}}  сходится.

Не нашли нужного вам решения? Оставьте заявку и наши авторы быстро и качественно помогут вам с решением.
Оставить заявку
Работа вам нужна срочно. Не волнуйтесь, уложимся!

Заполните, пожалуйста, данные для автора:

  • 22423 авторов готовы помочь тебе.
  • 2402 онлайн