Работа вам нужна срочно. Не волнуйтесь, уложимся!
Заполните, пожалуйста, данные для автора:
- 22423 авторов готовы помочь тебе.
- 2402 онлайн
Исследовать на сходимость ряд с положительными членами
Исследуем на сходимость ряд с положительными членами:
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n-7}{\sqrt[3]{n^8 + 2}}.
Члены ряда положительны, так как при ( n \geq 7 ), числитель ( n - 7 \geq 0 ), а знаменатель ( \sqrt[3]{n^8 + 2} > 0 ). Поэтому можно применять критерии сходимости для рядов с положительными членами.
Рассмотрим асимптотику общего члена:
Для больших ( n ), ( n^8 \gg 2 ), поэтому: \sqrt[3]{n^8 + 2} \sim \sqrt[3]{n^8} = n^{8/3}.
Следовательно, общий член ряда асимптотически ведёт себя как: a_n = \frac{n - 7}{\sqrt[3]{n^8 + 2}} \sim \frac{n}{n^{8/3}} = \frac{1}{n^{5/3}}.
Теперь сравним данный ряд с рядом вида: \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{p}}, где ( p = \frac{5}{3} ).
Известно, что ряд ( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{p}} ) сходится при ( p > 1 ). В данном случае ( p = \frac{5}{3} > 1 ), значит, сравниваемый ряд сходится.
Рассчитаем предел отношения общего члена ряда ( a_n ) и сравниваемого ряда ( b_n = \frac{1}{n^{5/3}} ): \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n} = \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{n - 7}{\sqrt[3]{n^8 + 2}}}{\frac{1}{n^{5/3}}} = \lim_{n \to \infty} \frac{(n - 7)n^{5/3}}{\sqrt[3]{n^8 + 2}}.
Для больших ( n ), ( n - 7 \sim n ), поэтому: \lim_{n \to \infty} \frac{(n - 7)n^{5/3}}{\sqrt[3]{n^8 + 2}} \sim \lim_{n \to \infty} \frac{n \cdot n^{5/3}}{n^{8/3}} = \lim_{n \to \infty} \frac{n^{8/3}}{n^{8/3}} = 1.
Предел конечен и равен 1, значит, по признаку предельного сравнения исследуемый ряд и ряд ( \sum{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{5/3}} ) имеют одинаковую сходимость. Так как ( \sum{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{5/3}} ) сходится, то и исходный ряд сходится.
Ряд \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n-7}{\sqrt[3]{n^8 + 2}} сходится.