Исследовать на сходимость ряд

Задание относится к предмету математика, а точнее к разделу математического анализа, который занимается исследованием рядов.

Проверим сходимость ряда: \[ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(n+4)\ln^2(2n+1)} \] Для проверки сходимости ряда можно использовать признак сравнения. Сначала найдем функцию, которая асимптотически соответствует общему члену ряда для больших n:

Как видим, при n стремящемся к бесконечности, величина (n+4) стремится к n, а ln(2n+1) стремится к ln(2n), потому что постоянная +1 становится незначительной. Таким образом, можно сравнить наш ряд с рядом вида: \[ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n\ln^2(2n)} \]

Теперь давайте используем предельный признак сравнения. Если для двух рядов с положительными членами \( a_n \) и \( b_n \), таких что \( a_n \leq b_n \) для всех n начиная с некоторого N, и ряд \( \sum b_n \) сходится, то сходится и ряд \( \sum a_n \). Аналогично, если \( \sum a_n \) расходится, то расходится и ряд \( \sum b_n \).

Мы знаем, что гармонический ряд \( \sum \frac{1}{n} \) расходится, а ряд \( \sum \frac{1}{n(\ln(n))^p} \) сходится при \( p > 1 \), потому что \( (\ln(n))^p \) растет достаточно быстро, чтобы гарантировать сходимость. Наш ряд очень похож на второй случай, где \( p = 2 \).

Рассмотрим следующий предел: \[ \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{1}{n\ln^2(2n)}}{\frac{1}{n\ln^2(n)}} = \lim_{n \to \infty} \frac{\ln^2(n)}{\ln^2(2n)} = \lim_{n \to \infty} \left(\frac{\ln(n)}{\ln(2n)}\right)^2 = \lim_{n \to \infty} \left(\frac{\ln(n)}{\ln(2) + \ln(n)}\right)^2 = \lim_{n \to \infty} \left(\frac{1}{1 + \frac{\ln(2)}{\ln(n)}}\right)^2 = 1 \]

Поскольку предел отношения членов двух рядов равен 1, который является конечным числом, по предельному признаку сравнения сходимость ряда \( \sum \frac{1}{n\ln^2(2n)} \) влечет сходимость нашего исходного ряда. Так как \( \sum \frac{1/{n\ln^2(n)} \) сходится, наш исходный ряд также сходится. В результате мы приходим к выводу, что исходный ряд сходится.