Исследовать на сходимость несобственный интеграл

Условие:

Решение:

На изображении представлено задание по математическому анализу: Задание 5. Исследовать на сходимость несобственный интеграл: ∫ from 0 to ∞ (4x + 1) sin(6x) dx Для исследования сходимости данного интеграла можно использовать признак Дирихле для несобственных интегралов: По признаку Дирихле интеграл ∫(a(x)b(x))dx сходится, если выполнены два условия: 1. Функция a(x) монотонно стремится к нулю на бесконечности. 2. Функция b(x) имеет ограниченную первообразную, т.е. существует такая функция Б(x), что B'(x) = b(x) и |B(x)| ≤ M для некоторого M > 0 на всём промежутке интегрирования. В данном случае a(x) = 4x + 1, которая не стремится к нулю на бесконечности, и, следовательно, признак Дирихле применить нельзя. Вместо этого можно использовать признак Абеля. Если a(x) монотонно, а b(x) имеет ограниченную первообразную, тогда если интеграл ∫(a(x)dx) сходится, то сходится и интеграл ∫(a(x)b(x)dx). В данном случае a(x) = 4x + 1 - функция, монотонно увеличивающаяся, и b(x) = sin(6x) - функция, обладающая ограниченной первообразной, так как sin(6x) ограничен и его первообразная ограничена. Однако, так как a(x) не стремится к нулю и не является убывающей, этот интеграл мы рассматривать не можем. Тут применим метод интегрирования по частям, чтобы установить форму интеграла для оценки: u = 4x + 1 ⇒ du = 4dx dv = sin(6x)dx ⇒ v = -cos(6x)/6 Теперь, применяя интегрирование по частям, получим: ∫(4x + 1)sin(6x)dx = -(4x + 1)cos(6x)/6 + ∫cos(6x)/6 * 4dx = -2/3(x + 1/4)cos(6x) - 1/9sin(6x) + C Оба слагаемых правой части выражения при x стремящемся к бесконечности в сумме дадут конечное значение, так как косинус и синус колеблются между -1 и 1, а множители при них (x + 1/4 и константа) не влияют на ограниченность выражения. Тем не менее, так как мы имеем дело с несобственным интегралом от 0 до бесконечности, правильнее будет разбить его на два интеграла: от 0 до некой конечной точки A и от A до бесконечности, а затем устремить A к бесконечности. Далее аналитически исследуем второй интеграл на предмет сходимости. Итого, данный несобственный интеграл расходится из-за того, что множитель (4x