Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость знакочередующийся ряд

Предмет: Математика
Раздел: Математический анализ — Ряды (сходимость знакопеременных и абсолютно сходящихся рядов)

Задание:
Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость знакочередующийся ряд:

 \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n \cdot \frac{1}{\sqrt[4]{n^2}} = \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n \cdot \frac{1}{n^{1/2}} 

Шаг 1: Проверим абсолютную сходимость

Рассмотрим ряд из модулей членов:

 \sum_{n=1}^{\infty} \left| (-1)^n \cdot \frac{1}{n^{1/2}} \right| = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{1/2}} 

Это — ряд вида p-ряда с показателем p = \frac{1}{2}.
Известно, что p-ряд \sum \frac{1}{n^p} сходится, если p > 1, и расходится, если p \leq 1.

Здесь p = \frac{1}{2} < 1, значит, ряд расходится.

Следовательно, ряд не сходится абсолютно.

Шаг 2: Проверим условную сходимость (сходимость знакопеременного ряда)

Рассмотрим знакочередующийся ряд:

 \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n \cdot \frac{1}{n^{1/2}} 

Применим признак Лейбница (признак сходимости знакопеременного ряда):

Пусть a_n = \frac{1}{n^{1/2}}. Проверим условия признака Лейбница:

1. a_n > 0 — выполняется.
2. a_{n} убывает:
   Функция f(n) = \frac{1}{n^{1/2}} убывает, так как производная f'(n) = -\frac{1}{2n^{3/2}} < 0.
3. \lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^{1/2}} = 0 — выполняется.

Все условия признака Лейбница выполнены ⇒ ряд условно сходится.

✅ Ответ:

• Ряд условно сходится по признаку Лейбница.
• Абсолютно не сходится, так как ряд модулей расходится.

⚠️ В условии указан ответ "абсолютно сходится", но это ошибка.
Правильный ответ: ряд условно сходится, но не абсолютно.