Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость знакочередующиеся ряды

Предмет: Математика
Раздел: Математический анализ — Ряды (исследование на сходимость знакопеременных рядов)

Рассмотрим данный знакочередующийся ряд:

 \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1} \cdot \frac{2n + 1}{n} 

Обозначим общий член ряда:

 a_n = (-1)^{n+1} \cdot \frac{2n + 1}{n} 

Итак, исследуем данный ряд на сходимость и абсолютную сходимость.

1. Абсолютная сходимость

Для исследования на абсолютную сходимость рассмотрим ряд из модулей:

 \sum_{n=1}^{\infty} \left| (-1)^{n+1} \cdot \frac{2n + 1}{n} \right| = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2n + 1}{n} 

Упростим выражение:

 \frac{2n + 1}{n} = 2 + \frac{1}{n} 

Тогда ряд превращается в:

 \sum_{n=1}^{\infty} \left(2 + \frac{1}{n} \right) = 2 \sum_{n=1}^{\infty} 1 + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} 

Оба ряда расходятся:

• \sum 1 — это бесконечная сумма единиц.
• \sum \frac{1}{n} — гармонический ряд, который тоже расходится.

Следовательно, ряд не сходится абсолютно.

2. Условная сходимость

Для исследования условной сходимости используем признак Лейбница (признак сходимости знакопеременного ряда):

Пусть a_n = (-1)^{n+1} b_n, где b_n = \frac{2n + 1}{n}.

Проверим условия признака Лейбница:

1. b_n > 0 — да, выполняется.
2. b_n должна быть убывающей — проверим:

 b_n = \frac{2n + 1}{n} = 2 + \frac{1}{n} 

Поскольку \frac{1}{n} убывает, то b_n убывает.

Но! Важно: убывание должно быть начиная с некоторого номера, и мы должны проверить строгое убывание:

 b_n - b_{n+1} = \left(2 + \frac{1}{n} \right) - \left(2 + \frac{1}{n+1} \right) = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} > 0 

Да, убывает.

3. \lim_{n \to \infty} b_n = \lim_{n \to \infty} \left(2 + \frac{1}{n} \right) = 2 \neq 0

❗ Это ключевой момент: предел общего члена не равен нулю, а это нарушает одно из основных условий признака Лейбница.

✅ Вывод:

Так как предел общего члена не стремится к нулю, ряд расходится.

? Ответ:

Ряд расходится.
Он не сходится ни абсолютно, ни условно.