Исследовать на сходимость числовой ряд

Предмет: Математика

Раздел: Ряды

Необходимо исследовать на сходимость числовой ряд:

 \sum_{n=1}^{\infty} n \arcsin^n\left(\frac{\pi}{4n}\right). 

Решение:

1. Общий член ряда:

Обозначим общий член ряда через a_n:  a_n = n \arcsin^n\left(\frac{\pi}{4n}\right). 

2. Оценка поведения \arcsin^n\left(\frac{\pi}{4n}\right):

Для малых аргументов функция \arcsin(x) может быть приближена линейной зависимостью:  \arcsin(x) \approx x, \, \text{если } x \to 0. 

Так как \frac{\pi}{4n} \to 0 при n \to \infty, то:  \arcsin\left(\frac{\pi}{4n}\right) \approx \frac{\pi}{4n}. 

Подставим это приближение:  \arcsin^n\left(\frac{\pi}{4n}\right) \approx \left(\frac{\pi}{4n}\right)^n. 

3. Общий член a_n с учетом приближения:

Подставим приближение в общий член ряда:  a_n \approx n \cdot \left(\frac{\pi}{4n}\right)^n = n \cdot \frac{\pi^n}{(4n)^n} = \frac{\pi^n}{4^n n^{n-1}}. 

4. Исследование поведения a_n:

Рассмотрим асимптотику a_n при n \to \infty. В числителе стоит экспоненциальная величина \pi^n, а в знаменателе — более быстро растущая величина 4^n n^{n-1}. Поэтому:

 \lim_{n \to \infty} a_n = 0. 

Однако для сходимости ряда этого недостаточно. Необходимо применить критерий сравнения или другой тест на сходимость.

5. Применение признака сравнения:

Рассмотрим логарифм общего члена:  \ln(a_n) = n \ln\left(\frac{\pi}{4n}\right) + \ln(n). 

Для экспоненциального члена \ln\left(\frac{\pi}{4n}\right) при n \to \infty выполняется:  \ln\left(\frac{\pi}{4n}\right) = \ln(\pi) - \ln(4n) = \ln(\pi) - \ln(4) - \ln(n). 

Тогда:  \ln(a_n) \approx n \cdot (-\ln(n)) + \ln(n) = -n \ln(n) + \ln(n). 

При n \to \infty доминирует член -n \ln(n), что указывает на стремительное убывание a_n.

6. Вывод:

Ряд \sum_{n=1}^\infty n \arcsin^n\left(\frac{\pi}{4n}\right) сходится, так как общий член a_n убывает достаточно быстро.