Исследовать на сходимость бесконечный ряд

Предмет: Математика

Раздел предмета: Теория рядов (математический анализ)

Задание: Исследовать на сходимость бесконечный ряд \[ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2n + 3}{(2n + 1)!}. \]

Будем исследовать на сходимость данный ряд, используя различные методы, такие как признак Д'Аламбера.

Шаг 1: Общий член ряда

Запишем общий член данного ряда: \[ a_n = \frac{2n + 3}{(2n + 1)!}. \]

Шаг 2: Применение признака Д'Аламбера

Признак Д'Аламбера говорит о том, что для ряда вида \( \sum a_n \), если \(\lim_{n \to \infty} \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| = L\), то:

• если \( L < 1 \), то ряд сходится;
• если \( L > 1 \), то ряд расходится;
• если \( L = 1 \), то признак Д'Аламбера не даёт ответа.

Найдем предел отношения \( \frac{a_{n+1}}{a_n} \):

\[ \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{\frac{2(n+1) + 3}{(2(n+1) + 1)!}}{\frac{2n + 3}{(2n + 1)!}} = \frac{2n + 5}{(2n + 3)!} \cdot \frac{(2n + 1)!}{2n + 3}. \]

Сократим факториалы:

\[ \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{2n + 5}{(2n + 3)(2n + 2)}. \]

Шаг 3: Предел

Теперь найдем предел этого отношения при \( n \to \infty \):

\[ \lim_{n \to \infty} \frac{2n + 5}{(2n + 3)(2n + 2)}. \]

Рассмотрим выражение подробнее:

\[ \lim_{n \to \infty} \frac{2n + 5}{(2n + 3)(2n + 2)} = \lim_{n \to \infty} \frac{2n + 5}{4n^2 + 10n + 6}. \]

В числителе и знаменателе ведущее слагаемое содержит \( n \), поэтому предел будет равен:

\[ \lim_{n \to \infty} \frac{2n + 5}{4n^2 + 10n + 6} = \lim_{n \to \infty} \frac{2}{4n} = 0. \]

Шаг 4: Вывод

Так как отношение \(\lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = 0\), а \( 0 < 1 \), согласно признаку Д'Аламбера, данный ряд сходится.

Ответ:

Ряд сходится.