Исследовать на абсолютную сходимость следующий знакочередующий ряд

Предмет: Математика
Раздел: Математический анализ — Ряды (Исследование сходимости рядов)

Нам нужно исследовать на абсолютную сходимость следующий знакочередующий ряд:

 \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n \cdot \frac{n}{9n - 1} 

Шаг 1: Абсолютная сходимость

Ряд абсолютно сходится, если сходится ряд из модулей его членов:

 \sum_{n=1}^{\infty} \left| (-1)^n \cdot \frac{n}{9n - 1} \right| = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{9n - 1} 

Исследуем сходимость ряда:

 \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{9n - 1} 

Шаг 2: Асимптотика и сравнение

Рассмотрим поведение общего члена ряда при больших n:

 \frac{n}{9n - 1} = \frac{1}{9 - \frac{1}{n}} \rightarrow \frac{1}{9} \quad \text{при} \quad n \to \infty 

То есть, член ряда стремится к ненулевому числу \frac{1}{9}. Следовательно, члены ряда не стремятся к нулю, а значит, ряд расходится.

А если члены не стремятся к нулю, то даже и обычная сходимость невозможна, не говоря уже об абсолютной.

Вывод по абсолютной сходимости

Ряд

 \sum_{n=1}^{\infty} \left| (-1)^n \cdot \frac{n}{9n - 1} \right| = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{9n - 1} 

расходится, следовательно, исходный ряд не сходится абсолютно.

Шаг 3: Исследуем на условную сходимость (дополнительно)

Рассмотрим знакочередующий ряд:

 \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n \cdot \frac{n}{9n - 1} 

Проверим условия признака Лейбница:

Рассмотрим a_n = \frac{n}{9n - 1}

1. Проверим, стремится ли a_n \to 0 при n \to \infty:

 \frac{n}{9n - 1} \to \frac{1}{9} \ne 0 

Значит, условия признака Лейбница не выполняются, и ряд не сходится условно.

✅ Окончательный вывод:

Ряд
 \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n \cdot \frac{n}{9n - 1} 
не сходится ни абсолютно, ни условно. Следовательно, он расходится.