Исследовать на абсолютную сходимость ряд

Предмет: Математика
Раздел: Математический анализ — Ряды (абсолютная сходимость)

Задание:
Исследовать на абсолютную сходимость ряд:

 \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1} \cdot \frac{2n + 1}{n} 

Шаг 1: Определение абсолютной сходимости

Ряд
 \sum_{n=1}^{\infty} a_n 
называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд из модулей его членов:
 \sum_{n=1}^{\infty} |a_n| 

В нашем случае:
 a_n = (-1)^{n+1} \cdot \frac{2n + 1}{n} 
Тогда
 |a_n| = \left|(-1)^{n+1} \cdot \frac{2n + 1}{n} \right| = \frac{2n + 1}{n} 

Шаг 2: Исследуем на сходимость ряд из модулей:

 \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2n + 1}{n} 

Разделим числитель:
 \frac{2n + 1}{n} = 2 + \frac{1}{n} 

Тогда ряд перепишется как:
 \sum_{n=1}^{\infty} \left(2 + \frac{1}{n} \right) = \sum_{n=1}^{\infty} 2 + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} 

Оба ряда:

• \sum 2 — это расходящийся ряд (сумма постоянных),
• \sum \frac{1}{n} — это гармонический ряд, который также расходится.

Значит, сумма двух расходящихся рядов тоже расходится.

Вывод:

Ряд
 \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1} \cdot \frac{2n + 1}{n} 
не сходится абсолютно, так как
 \sum_{n=1}^{\infty} \left|(-1)^{n+1} \cdot \frac{2n + 1}{n} \right| = \sum_{n=1}^{\infty} \left(2 + \frac{1}{n} \right) 
расходится.

✅ Ответ: ряд расходится абсолютно (не является абсолютно сходящимся).