Исследовать на абсолютную и условную сходимость знакопеременный ряд. Ряд верхний предел плюс бесконечность Нижний предел n=3 ((-1)^(n+1))/(n*lnn*(ln(lnn))^6)

Предмет: Математика

Раздел: Математический анализ (Ряды)

Тип задания: Проверка сходимости знакопеременного ряда

Задана бесконечная сумма: \[ \sum_{n=3}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n \cdot \ln(n) \cdot (\ln(\ln(n)))^6} \]

Шаги решения:

Чтобы исследовать на абсолютную и условную сходимость знакопеременного ряда, выполните следующие шаги:

Шаг 1. Проверка условной сходимости (Признак Лейбница)

Для проверки условной сходимости знакопеременного ряда используется признак Лейбница, который утверждает, что ряд: \[ \sum_{n=3}^{\infty} (-1)^{n+1} a_n \] сходится условно, если:

1. Последовательность \( a_n \) положительна и монотонно убывает, то есть \( a_{n+1} \leq a_n \) для всех \( n \) от некоторого большого числа.
2. \(\lim_{n \to \infty} a_n = 0\).

Здесь \( a_n = \frac{1}{n\: \ln n \cdot (\ln(\ln n))^6} \).

Проверим оба условия:

1. Монотонность: Заметим, что \( n\ln(n)(\ln(\ln(n)))^6 \) возрастает с ростом \( n \), поэтому \( a_n \) убывает при больших \( n \).
2. Предел: Найдём предел \( a_n \) при \( n \to \infty \). \[ a_n = \frac{1}{n \ln n \cdot (\ln(\ln n))^6} \] Так как \( \ln(n) \) и \( (\ln(\ln n))^6 \) стремятся к бесконечности очень медленно, это означает, что: \[ \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n \:\ln n \:(\ln(\ln n))^6} = 0 \] Это условие тоже выполняется. Так как оба условия признака Лейбница выполнены, ряд условно сходится.

Шаг 2. Проверка абсолютной сходимости

Ряд абсолютно сходится, если сходится ряд из модулей его членов: \[ \sum_{n=3}^{\infty} \left| \frac{(-1)^{n+1}}{n\ln(n)(\ln(\ln(n)))^6} \right| = \sum_{n=3}^{\infty} \frac{1}{n\ln(n)(\ln(\ln(n)))^6} \] Для проверки этого ряда можно использовать признак интегрального сравнения или критерий сходимости для обобщенных гармонических рядов.

Рассмотрим функцию, соответствующую первому члену ряда: \[ f(x) = \frac{1}{x \ln x (\ln(\ln x))^6} \] Теперь проверим сходится ли интеграл: \[ \int_3^{\infty} \frac{dx}{x \ln x (\ln(\ln x))^6} \] Интеграл от функции вида \( \frac{1}{x \ln x (\ln(\ln x))^6} \) сходится на бесконечности, поскольку \( \ln x \) и \( \ln(\ln x) \) растут очень медленно, и доминирует в знаменателе. Поэтому можно утверждать, что данный ряд сходится абсолютно (этот аспект следует из сравнения с известными интеграл-сходящими функциями).

Вывод:

1. Ряд условно сходится (по признаку Лейбница).
2. Ряд абсолютно сходится (по интегральному сравнению).

Таким образом, ряд сходится как абсолютно, так и условно.