Исследовать на абсолютную и условную сходимость ряд

Этот вопрос относится к математическому анализу, разделу "Исследование рядов на сходимость".

Мы исследуем ряд на абсолютную и условную сходимость, а также проверим выполнение необходимого условия сходимости рядов. Дан ряд: \[ \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n 6^n (n!)^2}{(2n+1)!} \]

1. Необходимое условие сходимости: Для этого необходимо проверить, сходится ли последовательность общего члена ряда к нулю. \[a_n = \frac{(-1)^n 6^n (n!)^2}{(2n+1)!}\]

Рассмотрим предел: \[ \lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} \frac{(-1)^n 6^n (n!)^2}{(2n+1)!}\]

Сначала возьмем модуль общего члена для упрощения: \[ \left| a_n \right| = \frac{6^n (n!)^2}{(2n+1)!} \]

Используем асимптотическое приближение факториала n! (формула Стирлинга): \[ n! \sim \sqrt{2\pi n} \left( \frac{n}{e} \right)^n \]

Применим это приближение: \[ (n!)^2 \sim (2\pi n) \left( \frac{n}{e} \right)^{2n} \] \[ (2n+1)! \sim \sqrt{2\pi (2n+1)} \left( \frac{2n+1}{e} \right)^{2n+1} \]

Далее упростим выражение: \[ \left|a_n \right| \approx \frac{6^n (2\pi n) \left( \frac{n}{e} \right)^{2n}}{\sqrt{2\pi (2n+1)} \left( \frac{2n+1}{e} \right)^{2n+1}} \]

Для большего упрощения, преобразуем: \[ \left| a_n \right| \approx \frac{6^n (2 \pi n) n^{2n} e^{-(2n)}}{\sqrt{2 \pi (2n+1)} (2n+1)^{2n+1} e^{-(2n+1)}} \]

Сокращаем экспоненты: \[ \left| a_n \right| \approx \frac{6^n (2 \pi n) n^{2n} e}{\sqrt{2 \pi (2n+1)} (2n+1)^{2n+1}} \]

Еще больше упростим: \[ \left| a_n \right| \approx \frac{6^n (2\pi n) e n^{2n}}{\sqrt{2 \pi (2n+1)} (2n+1)^{2n} (2n+1)} \]

Для больших значений n, \((2n+1) \approx 2n \): \[ \left| a_n \right| \approx \frac{6^n (2 \pi n) e n^{2n}}{\sqrt{4 \pi n} (2n)^{2n} 2n} \]

Упростим далее: \[ \left| a_n \right| \approx \frac{6^n e}{(4 \pi n)^{3/2}} \]

Здесь видно, что как \(n \to \infty\), выражение экспоненциально возрастает, потому предел не будет равен нулю: \[ \lim_{n \to \infty} a_n \neq 0 \]

Таким образом, данный ряд не удовлетворяет необходимому условию сходимости, и, следовательно, не сходится ни абсолютно, ни условно. Таким образом, ряд \(\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n 6^n (n!)^2}{(2n+1)!}\) не сходится, так как не выполняется необходимое условие сходимости ряда.