Исследовать два ряда на сходимость

Предмет: Математика

Раздел: Ряды (исследование на сходимость)

Необходимо исследовать два ряда на сходимость. Рассмотрим каждый из них отдельно:

(a) Исследуем ряд:

\sum\limits_{n=2}^\infty \frac{3n^2 + 2n + \ln^2{n}}{(n^3 + 5)\sqrt{\ln{n}}}

Анализ поведения общего члена:

Обозначим общий член ряда как: a_n = \frac{3n^2 + 2n + \ln^2{n}}{(n^3 + 5)\sqrt{\ln{n}}}.

Для исследования сходимости ряда используем признак сравнения. Рассмотрим асимптотику общего члена при n \to \infty.

1. В числителе доминирует старший член 3n^2, а в знаменателе — n^3\sqrt{\ln{n}}. Тогда: a_n \sim \frac{3n^2}{n^3\sqrt{\ln{n}}} = \frac{3}{n\sqrt{\ln{n}}}.

2. Для ряда \sum \frac{1}{n\sqrt{\ln{n}}} известно, что он расходится (это можно доказать с использованием интегрального признака). Следовательно, ряд \sum a_n также расходится, так как a_n асимптотически эквивалентен члену расходящегося ряда.

Ответ: ряд (a) расходится.

(б) Исследуем ряд:

\sum\limits_{n=1}^\infty (-1)^n \frac{4}{3\sqrt{n} + 2}

Анализ поведения общего члена:

Обозначим общий член ряда как: a_n = \frac{4}{3\sqrt{n} + 2}.

Данный ряд является знаменуемым рядом, так как содержит знакочередующийся множитель (-1)^n. Для исследования сходимости знакопеременного ряда можно использовать признак Лейбница.

1. Проверим, убывает ли последовательность a_n:

   • Заметим, что знаменатель 3\sqrt{n} + 2 возрастает при увеличении n, следовательно, a_n убывает.

2. Проверим условие \lim\limits_{n \to \infty} a_n = 0:

   • \lim\limits_{n \to \infty} a_n = \lim\limits_{n \to \infty} \frac{4}{3\sqrt{n} + 2} = 0.

Так как оба условия выполнены, ряд сходится по признаку Лейбница.

Ответ: ряд (б) сходится.

Итог:

(a) Ряд расходится.
(б) Ряд сходится.