Исследовать числовые ряды

Предмет: Математика
Раздел: Математический анализ — Исследование числовых рядов

Дано два числовых ряда. Рассмотрим первый из них:

 \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n - 1}{n \cdot 5^{n-1}} 

Обозначим этот ряд как S. Исследуем его на сходимость.

Шаг 1: Упростим общий член ряда

Рассмотрим общий член:

 a_n = \frac{n - 1}{n \cdot 5^{n-1}} = \frac{1 - \frac{1}{n}}{5^{n-1}} 

Так как \frac{1}{n} \to 0 при n \to \infty, то числитель стремится к 1, а знаменатель экспоненциально растет. Значит:

 a_n \sim \frac{1}{5^{n-1}} \quad \text{при больших } n 

Шаг 2: Сравнение с геометрическим рядом

Рассмотрим геометрический ряд:

 \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{5^{n-1}} = \sum_{n=0}^{\infty} \left(\frac{1}{5}\right)^n 

Это сходящийся геометрический ряд с первым членом 1 и знаменателем q = \frac{1}{5} < 1.

Так как a_n асимптотически эквивалентен \frac{1}{5^{n-1}}, и все члены положительные, то можно применить признак сравнения:

 0 \leq a_n \leq \frac{1}{5^{n-1}} \Rightarrow \sum a_n \text{ сходится} 

Ответ:

Ряд
 \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n - 1}{n \cdot 5^{n-1}} 
сходится.

Если нужно, могу также исследовать второй ряд, который частично виден на изображении:
 \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{5^{n-1}} 
— это геометрически модифицированный ряд, и он тоже сходится. Хочешь, разберём подробно?