Исследовать числовой ряд на сходимость с помощью признака Даламбера

Предмет: Высшая математика

Раздел: Исследование рядов на сходимость

Задание: Исследовать числовой ряд на сходимость с помощью признака Даламбера.

Дан числовой ряд: \[ \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(n+1)!}{4^n} \]

Применим признак Даламбера (или признак Ламбера), который гласит: пусть \( a_n \) - это общее слагаемое ряда, тогда ряд \( \sum a_n \) сходится, если существует предел \[ L = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| < 1 \] и расходится, если \( L > 1 \). Если \( L = 1 \), то признак Даламбера не дает информации о сходимости ряда.

Найдем \( a_n \):

\[ a_n = \frac{(n+1)!}{4^n} \]

Теперь найдём \( a_{n+1} \):

\[ a_{n+1} = \frac{(n+2)!}{4^{n+1}} \]

Вычислим отношение \( \frac{a_{n+1}}{a_n} \):

\[ \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{\frac{(n+2)!}{4^{n+1}}}{\frac{(n+1)!}{4^n}} = \frac{(n+2)! \cdot 4^n}{4^{n+1} \cdot (n+1)!} = \frac{(n+2) \cdot (n+1)! \cdot 4^n}{4^{n+1} \cdot (n+1)!} \]

Теперь немного упростим \( \frac{(n+2) \cdot (n+1)! \cdot 4^n}{4^{n+1} \cdot (n+1)!} \):

\[ = \frac{(n+2) \cdot 4^n}{4 \cdot 4^n} = \frac{n+2}{4} \]

Найдем предел этого выражения при \( n \) стремящемся к бесконечности:

\[ \lim_{n \to \infty} \frac{n+2}{4} = \lim_{n \to \infty} \frac{n}{4} + \frac{2}{4} = \infty \]

Так как предел равен бесконечности (то есть больше единицы), по признаку Даламбера ряд расходится.

Ответ: Числовой ряд \( \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(n+1)!}{4^n} \) расходится.