Исследование сходимости ряда использую разные признаки сходимости

Предмет: Математика
Раздел: Математический анализ (Ряды и последовательности)

Рассмотрим задачу исследования сходимости ряда, заданного выражением \frac{\ln(n)}{n^3}. Для этого используем несколько признаков сходимости.

1. Признак сравнения

В данном случае мы можем сравнить данный ряд с более простым рядом вида \frac{1}{n^p}, где p > 1. Заметим, что \ln(n) растет значительно медленнее, чем любая степень n, поэтому для достаточно больших n выполняется неравенство:
\frac{\ln(n)}{n^3} < \frac{C}{n^3},
где C — некоторая константа.

Рассмотрим ряд \sum \frac{1}{n^3}. Этот ряд является сходящимся, так как показатель степени p = 3 > 1 (по признаку сходимости ряда \sum \frac{1}{n^p}).

Следовательно, по признаку сравнения ряд \sum \frac{\ln(n)}{n^3} также сходится.

2. Признак Д’Аламбера

Признак Д’Аламбера требует вычисления предела отношения соседних членов ряда:
L = \lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n},
где a_n = \frac{\ln(n)}{n^3}.

Вычислим:
 \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{\frac{\ln(n+1)}{(n+1)^3}}{\frac{\ln(n)}{n^3}} = \frac{\ln(n+1)}{\ln(n)} \cdot \frac{n^3}{(n+1)^3}. 

Рассмотрим предел:
 L = \lim_{n \to \infty} \frac{\ln(n+1)}{\ln(n)} \cdot \frac{n^3}{(n+1)^3}. 

1. Первая часть:
   \lim_{n \to \infty} \frac{\ln(n+1)}{\ln(n)} = 1
   (так как \ln(n+1) \sim \ln(n) при n \to \infty).

2. Вторая часть:
   \lim_{n \to \infty} \frac{n^3}{(n+1)^3} = \lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^{-3} = 1
   (при n \to \infty).

Таким образом, L = 1 \cdot 1 = 1.

В данном случае признак Д’Аламбера не дает однозначного ответа, так как L = 1. Переходим к другим методам.

3. Интегральный признак

Для исследования сходимости ряда \sum \frac{\ln(n)}{n^3} рассмотрим связанную с ним функцию и соответствующий несобственный интеграл:
\int_{1}^{\infty} \frac{\ln(x)}{x^3} \, dx.

Выполним замену u = \ln(x), тогда du = \frac{1}{x} dx, а x = e^u. Пределы интегрирования изменятся:

• при x = 1: u = \ln(1) = 0,
• при x \to \infty: u \to \infty.

Интеграл примет вид:
 \int_{1}^{\infty} \frac{\ln(x)}{x^3} \, dx = \int_{0}^{\infty} \frac{u}{e^{3u}} \, du. 

Разделим дробь:
 \int_{0}^{\infty} \frac{u}{e^{3u}} \, du = \int_{0}^{\infty} u e^{-3u} \, du. 

Используем метод интегрирования по частям:
 \int u e^{-3u} \, du = -\frac{u}{3} e^{-3u} + \frac{1}{3} \int e^{-3u} \, du. 

Второй интеграл:
\int e^{-3u} \, du = -\frac{1}{3} e^{-3u}.

Подставляем:
 \int u e^{-3u} \, du = -\frac{u}{3} e^{-3u} - \frac{1}{9} e^{-3u}. 

На бесконечности оба слагаемых стремятся к нулю, а при u = 0 интеграл также равен нулю. Следовательно, интеграл сходится.

По интегральному признаку ряд \sum \frac{\ln(n)}{n^3} сходится.

Вывод

Ряд \sum \frac{\ln(n)}{n^3} является сходящимся. Мы использовали несколько признаков: признак сравнения, признак Д’Аламбера и интегральный признак, чтобы подтвердить этот результат.