Исследование сходимости числовых рядов

Предмет: Математический анализ
Раздел: Исследование сходимости числовых рядов

Разбор задания:

Дан числовой ряд

\sum_{n=1}^{\infty} a_n, \quad a_n \geq 0

и известно, что он расходится. При этом существует предел

\lim\limits_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_n}.

Необходимо выбрать правильное утверждение о значении этого предела.

Теоретическое обоснование:

Для исследования сходимости ряда можно использовать признак радикала (Коренного признака Коши):

Если существует предел

\rho = \lim\limits_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_n},

то:

• Если \rho < 1, то ряд сходится.
• Если \rho > 1, то ряд расходится.
• Если \rho = 1, то признак не дает информации о сходимости.

Но по условию задачи ряд расходится, значит, не может быть случая \rho < 1. Следовательно, остается вариант \rho \geq 1.

Правильный ответ:

Вариант 4:
\lim\limits_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_n} \geq 1.