Исследование сходимости бесконечных рядов

Давайте разберёмся с данным выражением. Мы видим бесконечный ряд: \[ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{e^{n+1}} \] Для начала напомним основные формулы, которые могут помочь в решении.

Шаг 1: Упрощение Общего Члена Ряда

Общий член ряда выглядит следующим образом: \[ a_n = \frac{(-1)^{n-1}}{e^{n+1}} \]

Шаг 2: Исследование Сходимости Ряда

Посмотрим на исследование сходимости ряда. Проанализируем, является ли данный ряд альтернирующим рядом и применим критерий Лейбница для сходимости:

Критерий Лейбница гласит, что альтернирующий ряд \(\sum (-1)^n b_n\) сходится, если:

1. \(b_n \geq 0\) для всех \(n\)
2. \(b_n\) монотонно убывает, т.е., \(b_{n+1} \leq b_n\) для всех \(n\)
3. \(\lim_{n \to \infty} b_n = 0\)

Где \(b_n\) — это \( \frac{1}{e^{n+1}} \).

1. \(b_n = \frac{1}{e^{n+1}} \geq 0\) для всех \(n\), так как показатель \(n+1\) всегда положителен.
2. \( \frac{1}{e^{n+1}} \) является убывающей последовательностью, так как при увеличении \(n\) значение \( b_n \) становится меньше.
3. \(\lim_{n \to \infty} \frac{1}{e^{n+1}} = 0\)

Все три условия выполнены, следовательно, ряд сходится.

Шаг 3: Найдем Сумму Ряда

Этот ряд можно переписать с помощью сумм альтернирующего ряда: \[ S = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{e^{n+1}} \]

Посмотрим, можем ли мы выразить этот ряд в другом виде. На самом деле, если выразить: \[ e^{-n-1} = \left(\frac{1}{e}\right)^{n+1} \] тогда ряд преобразуется в: \[ S = \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} \left( \frac{1}{e} \right)^{n+1} \]

Заметим, что это напоминает сумму геометрической прогрессии, но с индексами, сдвинутыми на \(n+1\). В следующих шагах можно исследовать зависимость ряда и более точно понять, какое выражение более точно его описывает.

Заключение

Ряд сходится, а его точную сумму дальше можно найти с помощью специализированных методов суммирования рядов, но это выходит за рамки стандартного курса расписанных шагов анализа. Таким образом, задача из раздела математического анализа, связанная с исследованием сходимости бесконечных рядов.