Предмет: Математика
Тема: Ряд Тейлора
Задание: Составить ряд Тейлора для функции \( y = \cos(x) \) в окрестности точки \( a = 1 \) и указать область сходимости.
Ряд Тейлора
Ряд Тейлора функции \( f(x) \) в окрестности точки \( x = a \) имеет следующий общий вид:
\[ f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 + \frac{f^{(3)}(a)}{3!}(x-a)^3 + \ldots \]
где \( f^{(n)}(a) \) — это \( n \)-я производная функции в точке \( a \).
Шаги решения:
- Функция: Нам дана функция \( f(x) = \cos(x) \), а точка разложения \( a = 1 \).
- Вычисление значений функции и её производных в точке \( a = 1 \):
- \( f(x) = \cos(x) \) \[ f(1) = \cos(1) \]
- Первая производная: \[ f'(x) = -\sin(x) \quad \Rightarrow \quad f'(1) = -\sin(1) \]
- Вторая производная: \[ f''(x) = -\cos(x) \quad \Rightarrow \quad f''(1) = -\cos(1) \]
- Третья производная: \[ f^{(3)}(x) = \sin(x) \quad \Rightarrow \quad f^{(3)}(1) = \sin(1) \]
- Четвёртая производная: \[ f^{(4)}(x) = \cos(x) \quad \Rightarrow \quad f^{(4)}(1) = \cos(1) \]
И так далее. Производные периодически повторяются каждые 4 шага.
- Запись ряда Тейлора для функции \( f(x) = \cos(x) \) в окрестности \( a = 1 \):
\[ \cos(x) = f(1) + f'(1)(x-1) + \frac{f''(1)}{2!}(x-1)^2 + \frac{f^{(3)}(1)}{3!}(x-1)^3 + \ldots \]
Подставляем найденные значения:
\[ \cos(x) = \cos(1) - \sin(1)(x-1) - \frac{\cos(1)}{2!}(x-1)^2 + \frac{\sin(1)}{3!}(x-1)^3 + \ldots \]
Область сходимости:
Ответ:
- Ряд Тейлора для функции \( \cos(x) \) в окрестности точки \( a = 1 \): \[ \cos(x) = \cos(1) - \sin(1)(x-1) - \frac{\cos(1)}{2!}(x-1)^2 + \frac{\sin(1)}{3!}(x-1)^3 + \ldots \]
- Область сходимости: \( (-\infty, +\infty) \) (вся числовая ось).
Ряд Тейлора для функции \( \cos(x) \) сходится на всей числовой оси, так как синусоиды (как \(\cos(x)\), так и \(\sin(x)\)) являются аналитическими функциями, а это означает, что их разложения в ряд Тейлора сходятся везде.