Используя табличные разложения, составить ряд Тейлора по степеням (х-а) для указанной функции и указать область сходимости. Y=8/(x-5)a=-1

Предмет: Математика

Раздел: Математический анализ, ряды Тейлора

Задание: Нам нужно разложить функцию \( Y = \frac{8}{x-5} \) в ряд Тейлора по степеням \( (x - a) \), где \( a = -1 \), и указать область сходимости.

Шаг 1: Преобразование функции

Функция дана в виде \( Y(x) = \frac{8}{x-5} \). Для начала упростим задачу, выразив её так, чтобы получить формулу, от которой было бы проще находить производные. Преобразуем функцию следующим образом: \[ Y(x) = \frac{8}{x - 5}. \] Сначала мы можем провести замену переменной, чтобы более удобно аппроксимировать функцию около \( a = -1 \).

Шаг 2: Преобразование вида функции для разложения

Будем разлагать функцию \( Y(x) \) по степеням \( (x + 1) \). Для этого перепишем знаменатель в удобной форме: \[ Y(x) = \frac{8}{x-5} = \frac{8}{(x + 1) - 6}. \] Теперь у нас есть вид \( \frac{1}{u}, \) где \( u = (x + 1) - 6 \). Это приближает нас к желаемому виду для разложения.

Шаг 3: Формула разложения

Для такого типа функции удобно использовать разложение для функции \[ \frac{1}{1 - z} = \sum_{n=0}^{\infty} z^n, \] при условии, что \( |z| < 1 \). Мы можем записать нашу функцию как: \[ Y(x) = \frac{8}{6 - (x+1)} = \frac{8}{6} \cdot \frac{1}{1 - \frac{x+1}{6}}. \] Теперь мы видим, что можем применить стандартное разложение.

Шаг 4: Разложение функции

Разложим данную функцию в ряд: \[ Y(x) = \frac{4}{3} \sum_{n=0}^{\infty} \left(\frac{x+1}{6}\right)^n = \frac{4}{3} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(x+1)^n}{6^n}. \] Итак, наша функция разлагается в такой ряд: \[ Y(x) = \frac{4}{3} \left(1 + \frac{x+1}{6} + \frac{(x+1)^2}{6^2} + \frac{(x+1)^3}{6^3} + \dots \right). \]

Шаг 5: Область сходимости

Для сходимости ряда необходимо, чтобы выполнялось условие: \[ \left|\frac{x + 1}{6}\right| < 1, \] что означает \[ |x + 1| < 6. \] Таким образом, область сходимости: \[ -7 < x < 5. \]

1. Ряд Тейлора функции \( \frac{8}{x-5} \) по степеням \( (x + 1) \) имеет вид: \[ Y(x) = \frac{4}{3} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(x+1)^n}{6^n}. \]
2. Область сходимости: \( -7 < x < 5 \).

Ответ: