Используя табличные разложения, составить ряд Тейлора

Предмет: Математика (мат. анализ) Раздел: Ряды Тейлора и ряды Маклорена Задание: Найти ряд Тейлора для функции \( y = \frac{2}{1 + x^2} \) в точке \( a = 0 \) и указать область сходимости.

Ряд Тейлора

Ряд Тейлора функции \( f(x) \) в точке \( a \) определяется как: \[ f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x - a)^n \] Где \( f^{(n)}(a) \) — это значение \( n \)-ой производной функции в точке \( a \), а \( (x - a)^n \) — степенное выражение в разложении. Поскольку в нашем случае \( a = 0 \), имеем дело с разложением по степеням \( x \), то есть получаем ряд Маклорена. Итак, функция: \[ f(x) = \frac{2}{1 + x^2} \] Мы найдем производные этой функции и разложим её в ряд.

1. Нахождение производных \( f(x) \) в точке \( x = 0 \).

1. \( f(x) = \frac{2}{1 + x^2} \) Подставляем \( x = 0 \): \[ f(0) = \frac{2}{1 + 0^2} = 2 \]
2. Найдём первую производную \( f'(x) \): \[ f'(x) = \frac{d}{dx} \left( \frac{2}{1 + x^2} \right) = -2 \cdot \frac{2x}{(1 + x^2)^2} \] Подставляем \( x = 0 \): \[ f'(0) = 0 \]
3. Вторая производная \( f''(x) \): \[ f''(x) = \frac{d}{dx} \left( \frac{-4x}{(1 + x^2)^2} \right) = -4 \cdot \left( \frac{(1 + x^2)^2 - 2x(2x)}{(1 + x^2)^4} \right) = \frac{-4 + 8x^2}{(1 + x^2)^3} \] Подставляем \( x = 0 \): \[ f''(0) = -4 \]
4. Третья производная \( f'''(x) \): Производная будет сложной, но важно, что при подстановке \( x = 0 \), \( f'''(0)=0 \).
5. Четвёртая производная \( f^{(4)}(x) \): \[ f^{(4)}(x) = \frac{d}{dx} \left( \frac{-4 + 8x^2}{(1 + x^2)^3} \right) = \frac{-96x^2 + 48}{(1 + x^2)^5} \] Подставляем \( x = 0 \): \[ f^{(4)}(0) = 48 \]

2. Построение ряда Маклорена.

Теперь возьмём найденные значения производных и построим ряд: \[ f(x) = f(0) + \frac{f'(0)}{1!} x + \frac{f''(0)}{2!} x^2 + \frac{f^{(3)}(0)}{3!} x^3 + \frac{f^{(4)}(0)}{4!} x^4 + \ldots \] Подставляем значения производных: \[ f(x) = 2 + 0 \cdot x + \frac{-4}{2!} x^2 + 0 \cdot x^3 + \frac{48}{4!} x^4 + \ldots \] Упрощаем: \[ f(x) = 2 - 2x^2 + 2x^4 + O(x^5) \]

3. Область сходимости.

\( f(x) = \frac{2}{1 + x^2} \) можно представить как сумму степенного ряда, сходящегося на интервале \( |x| < 1 \). Это следует из разложения функции по схеме, аналогичной геометрической прогрессии: \[ \frac{1}{1 + x^2} = 1 - x^2 + x^4 - x^6 + \ldots \] Таким образом, область сходимости этого ряда: \[ |x| < 1 \]

Таким образом, ряд Тейлора для функции \( \frac{2}{1 + x^2} \) в точке \( a = 0 \) будет иметь вид: \[ f(x) = 2 - 2x^2 + 2x^4 + O(x^5) \]

Область сходимости: \( |x| < 1 \).