Используя дифференцирование интегрирование степенных рядов, найти сумму и указать область сходимости данного ряда

Предмет: Математика

Раздел: Математический анализ (Ряды)

Задача: Найти сумму степенного ряда и указать область его сходимости.

Дан степенной ряд: \[ \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{n+3}}{n+3}. \]

Шаг 1. Преобразование ряда.

Запишем этот ряд более удобно: \[ \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{n+3}}{n+3} = x^3 \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n+3}. \]

Теперь займёмся суммой \(\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n+3}\).

Шаг 2. Связь с известным рядом.

Рассмотрим стандартный геометрический ряд: \[ \sum_{n=0}^{\infty} x^n = \frac{1}{1 - x}, \quad \text{при } |x| < 1. \]

Для нашей задачи можно воспользоваться интегрированием геометрического ряда. Проинтегрируем данный ряд почленно: \[ \int \sum_{n=0}^{\infty} x^n \, dx = \sum_{n=0}^{\infty} \int x^n \, dx = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{n+1}}{n+1} = -\ln(1 - x). \]

Это выражение верно при \( |x| < 1 \).

Шаг 3. Интегрирование полученного результата.

Проинтегрируем выражение \(\frac{-\ln(1 - x)}{x}\) ещё раз, чтобы получить сумму: \[ \int \sum_{n=0}^{\infty}\]