Использование теста на сходимость

Да, конечно! Рассмотрим данный ряд на сходимость. Запишем то, что видно на листе, более разборчиво: \[ \sum\limits_{k=1}^{\infty} \frac{2^k}{8^k} \] В лекциях по математическому анализу часто рассматриваются ряды вида: \[ \sum\limits_{k=1}^{\infty} a_k \] Мы будем использовать тесты на сходимость. Давайте используем тест сравнения или рассмотрим ряд с точки зрения геометрической прогрессии. Начнем с упрощения вычислений для общего члена \( a_k \): \[ a_k = \frac{2^k}{8^k} = \left(\frac{2}{8}\right)^k = \left(\frac{1}{4}\right)^k \] Теперь наш ряд преобразовался к виду: \[ \sum\limits_{k=1}^{\infty} \left(\frac{1}{4}\right)^k \] Это геометрический ряд с первым членом \( a = \frac{1}{4} \) и знаменателем \( r = \frac{1}{4} \). Для геометрического ряда \(\sum\limits_{k=1}^{\infty} ar^k\) условие сходимости заключается в том, что \( |r| < 1 \). В нашем случае \( r = \frac{1}{4} \), что очевидно меньше 1. Следовательно, ряд сходится. Теперь можно найти сумму этого ряда, пользуясь формулой для суммы бесконечной геометрической прогрессии: \[ \sum\limits_{k=1}^{\infty} ar^k = \frac{a}{1 - r} \] Поставим наши значения \( a = \frac{1}{4} \) и \( r = \frac{1}{4} \): \[ \sum\limits_{k=1}^{\infty} \left(\frac{1}{4}\right)^k = \frac{\frac{1}{4}}{1 - \frac{1}{4}} = \frac{\frac{1}{4}}{\frac{3}{4}} = \frac{1}{4} \cdot \frac{4}{3} = \frac{1}{3} \] Итак, геометрический ряд \( \sum\limits_{k=1}^{\infty} \left(\frac{1}{4}\right)^k \) сходится и его сумма равна \( \frac{1}{3} \). Ответ: Ряд сходится, его сумма равна \( \frac{1}{3} \).