Ислледовать на сходимость

Ваше задание относится к разделу математического анализа, а именно к исследованию сходимости бесконечных рядов.

Исследуем ряд на сходимость: \[ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(3n + 2)^2}{5^n} \] Для исследования сходимости удобно использовать различные тесты, такие как признак Даламбера, признак сравнения, или признак корня. Здесь наиболее удобно воспользоваться признаком Даламбера.

Признак Даламбера

Признак Даламбера (признак сравнений) говорит, что для ряда \( \sum a_n \) если существует такой предел: \[ \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = L \] то:

• Если \(L < 1\), ряд сходится.
• Если \(L > 1\), ряд расходится.
• Если \(L = 1\), то тест не дает ответа.

Рассмотрим наш ряд: \(a_n = \frac{(3n + 2)^2}{5^n}\) Рассчитаем предел: \[ L = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{\frac{(3(n+1) + 2)^2}{5^{n+1}}}{\frac{(3n + 2)^2}{5^n}} \right| \]

Упростим выражение: \[ L = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{(3n + 3 + 2)^2 \cdot 5^n}{(3n + 2)^2 \cdot 5^{n+1}} \right| = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{(3n + 5)^2}{5(3n + 2)^2} \right| \]

Рассмотрим числитель и знаменатель отдельно: \[ L = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{(3n + 5)^2}{5(3n + 2)^2} \right| = \frac{1}{5} \cdot \lim_{n \to \infty} \left| \frac{(3n + 5)^2}{(3n + 2)^2} \right| \] Рассчитать теперь этот предел: \[ \lim_{n \to \infty} \left| \frac{(3n + 5)^2}{(3n + 2)^2} \right| = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{3n + 5}{3n + 2} \right|^2 = \left( \lim_{n \to \infty} \left| \frac{3n + 5}{3n + 2} \right| \right)^2 \] Снова упростим это выражение: \[ \lim_{n \to \infty} \frac{3n + 5}{3n + 2} = \frac{3n}{3n} = 1 \]

Итак, \[ \left( \lim_{n \to \infty} \left| \frac{3n + 5}{3n + 2} \right| \right)^2 = 1 \] Следовательно, \[ L = \frac{1^2}{5} = \frac{1}{5} \] Получаем \(L = \frac{1}{5} < 1\). Следовательно, согласно признаку Даламбера, ряд сходится.

Таким образом, ряд \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(3n + 2)^2}{5^n} \) сходится.