Функцию y=|x| представить в виде тригонометрического ряд

Предмет: Математика, Раздел: Тригонометрические ряды (Фурье).

Решение:

Для того чтобы представить функцию \( y = |x| \) в виде тригонометрического ряда на интервале \( [-\pi, \pi] \), нам нужно найти её ряд Фурье. Функция \( y = |x| \) является чётной функцией, поэтому её разложение в ряд Фурье будет содержать только косинусные члены:

\[ f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} a_n \cos(nx) \]

Где коэффициенты \( a_0 \) и \( a_n \) определяются следующими формулами:

\[ a_0 = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \, dx \]

\[ a_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \cos(nx) \, dx \]

Найдём \( a_0 \):

\[ a_0 = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} |x| \, dx \]

Так как функция чётная, можно интегрировать от 0 до \( \pi \) и умножить результат на 2:

\[ a_0 = \frac{2}{\pi} \int_{0}^{\pi} x \, dx \]

\[ a_0 = \frac{2}{\pi} \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{\pi} \]

\[ a_0 = \frac{2}{\pi} \cdot \frac{\pi^2}{2} \]

\[ a_0 = \pi \]

Найдём \( a_n \):

\[ a_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} |x| \cos(nx) \, dx \]

Так как функция чётная, мы можем снова интегрировать от 0 до \( \pi \) и умножить результат на 2:

\[ a_n = \frac{2}{\pi} \int_{0}^{\pi} x \cos(nx) \, dx \]

Для нахождения этого интеграла воспользуемся частями:

Пусть \( u = x \) и \( dv = \cos(nx) \, dx \). Тогда \( du = dx \) и \( v = \frac{\sin(nx)}{n} \).

\[ \int u \, dv = uv - \int v \, du \]

\[ a_n = \frac{2}{\pi} \left[ \frac{x \sin(nx)}{n} \right]_{0}^{\pi} - \frac{2}{\pi} \int_{0}^{\pi} \frac{\sin(nx)}{n} \, dx \]

Первое слагаемое равно нулю, так как при \( x = \pi \), \( \sin(n\pi) = 0 \):

\[ a_n = -\frac{2}{n\pi} \int_{0}^{\pi} \sin(nx) \, dx \]

Рассчитаем интеграл по \( x \):

\[ \int \sin(nx) \, dx = -\frac{\cos(nx)}{n} \]

\[ a_n = -\frac{2}/n\pi} \left[ -\float{\cos(nx)}/n \right]\_{0}^{\pi} \]

\[ a_n = \frac{2}{n^2\pi} [\cos(0) - \cos(n\pi)] \]

\[ a_n = \frac{2}{n^2\pi} [1 - (-1)^n] \]

То есть:

• Если \( n \) чётное, \( \cos(n\pi) = 1 \) и \( 1 - 1 = 0 \), тогда \( a_n = 0 \).
• Если \( n \) нечётное, \( \cos(n\pi) = -1 \) и \( 1 - (-1) = 2 \), тогда:

  \[ a_n = \frac{4}{n^2\pi} \]

Итог:

Функция \( y = |x| \) в виде тригонометрического ряда на интервале \( [-\pi, \pi] \):

\[ y = \frac{\pi}{2} + \sum_{n=1,3,5,\ldots}^{\infty} \frac{4}{n^2\pi} \cos(nx) \]

Это и есть разложение функции \( y = |x| \) в ряд Фурье.