Доказать сходимость следующих рядов и найти их сумму

Предмет: Математика
Раздел: Математический анализ, числовые ряды

Дано: ряд
 \frac{1}{3} + \frac{1}{6} + \frac{1}{2} + \ldots + \frac{1}{3} \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1} + \ldots 

Нужно:

1. Доказать сходимость ряда
2. Найти сумму ряда

Шаг 1. Анализ общего члена ряда

Рассмотрим общий член ряда. По условию видно, что члены ряда имеют вид:
 a_n = \frac{1}{3} \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1} , где  n = 1, 2, 3, \ldots 

Проверим первые члены для уверенности:

• При  n=1 :  a_1 = \frac{1}{3} \left(\frac{1}{2}\right)^0 = \frac{1}{3} 
• При  n=2 :  a_2 = \frac{1}{3} \left(\frac{1}{2}\right)^1 = \frac{1}{6} 
• При  n=3 :  a_3 = \frac{1}{3} \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{12} 

В условии в третьем слагаемом стоит  \frac{1}{2} , а по формуле выходит  \frac{1}{12} . Возможно, в условии опечатка или ошибка.

Если предположить, что ряд — это геометрическая прогрессия с первым членом  a_1 = \frac{1}{3}  и знаменателем  q = \frac{1}{2} , то ряд выглядит так:
 \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{3} \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1} 

Шаг 2. Доказательство сходимости

Так как  |q| = \frac{1}{2} < 1 , геометрический ряд сходится.

Шаг 3. Нахождение суммы ряда

Сумма бесконечного геометрического ряда с первым членом  a_1  и знаменателем  q  равна:
 S = \frac{a_1}{1 - q} 

Подставим:
 a_1 = \frac{1}{3}, \quad q = \frac{1}{2} 

Тогда:
 S = \frac{\frac{1}{3}}{1 - \frac{1}{2}} = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{1}{2}} = \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{1} = \frac{2}{3} 

Ответ:

1. Ряд является геометрическим с  |q| = \frac{1}{2} < 1 , значит он сходится.
2. Сумма ряда равна  \frac{2}{3} .