Доказать сходимость ряда и найти его сумму

Предмет: Математика
Раздел: Математический анализ — Ряды

Рассмотрим бесконечный числовой ряд:

 \sum_{n=1}^{\infty} \frac{3^n + 5^n}{15^n} 

Шаг 1: Исследуем сходимость ряда

Разделим числитель на знаменатель:

 \frac{3^n + 5^n}{15^n} = \left( \frac{3}{15} \right)^n + \left( \frac{5}{15} \right)^n = \left( \frac{1}{5} \right)^n + \left( \frac{1}{3} \right)^n 

Следовательно, ряд можно переписать как сумму двух геометрических рядов:

 \sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{1}{5} \right)^n + \sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{1}{3} \right)^n 

Каждый из этих рядов — геометрический с первым членом a = \left( \frac{1}{5} \right) и \left( \frac{1}{3} \right) соответственно, и знаменателем q = \frac{1}{5} и q = \frac{1}{3}, причём |q| < 1. Следовательно, оба ряда сходятся.

Шаг 2: Найдём сумму ряда

Сумма геометрического ряда вида

 \sum_{n=1}^{\infty} q^n = \frac{q}{1 - q}, \quad \text{при } |q| < 1 

Применим это к каждому из двух рядов:

1. Для \left( \frac{1}{5} \right)^n:

 \sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{1}{5} \right)^n = \frac{\frac{1}{5}}{1 - \frac{1}{5}} = \frac{\frac{1}{5}}{\frac{4}{5}} = \frac{1}{4} 

2. Для \left( \frac{1}{3} \right)^n:

 \sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{1}{3} \right)^n = \frac{\frac{1}{3}}{1 - \frac{1}{3}} = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{2}{3}} = \frac{1}{2} 

Ответ:

Ряд сходится, а его сумма равна:

 \frac{1}{4} + \frac{1}{2} = \frac{3}{4}  ✅