Доказать что ряд сходится условно

Предмет: Математика

Раздел: Математический анализ, ряды

Для доказательства условной сходимости данного ряда: \[ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{\ln(n+1)} \] Мы можем воспользоваться признаком Лейбница для знакопеременных рядов.

Признак Лейбница утверждает, что знакопеременный ряд вида: \[ \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n a_n \] сходится, если последовательность \( a_n \) удовлетворяет следующим условиям:

1. \( a_n \) убывает, то есть \( a_{n+1} \le a_n \),
2. \( \lim_{n \to \infty} a_n = 0 \).

У нас \( a_n = \frac{1}{\ln(n+1)} \).

Проверим эти условия.

1. Убывание последовательности \( a_n \): Рассмотрим функцию \( f(x) = \frac{1}{\ln(x+1)} \). Найдем ее производную для анализа убывания: \[ f'(x) = -\frac{1}{(x+1) (\ln(x+1))^2} \] Производная отрицательна для \( x > 0 \), следовательно, функция \( f(x) \) убывает на \((1, \infty)\), и \( a_n \) также убывает для \( n \ge 1 \).
2. Предел \( \lim_{n \to \infty} a_n \): \[ \lim_{n \to \infty} \frac{1}{\ln(n+1)} = 0 \] Таким образом, оба условия признака Лейбница выполнены и ряд \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{\ln(n+1)} \) сходится.

Теперь надо доказать, что ряд сходится условно, а не абсолютно. Это значит, что ряд без знакопеременного члена, \( \sum_{n=1}^{\infty} \left| \frac{(-1)^{n-1}}{\ln(n+1)} \right| = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\ln(n+1)} \), расходится.

Выясним, расходится ли ряд \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\ln(n+1)} \). Сравним этот ряд с интегралом.

Рассмотрим интеграл: \[ \int_{1}^{\infty} \frac{1}{\ln(x+1)} dx \]

Пусть \( u = \ln(x+1) \), тогда \( du = \frac{1}{x+1} dx \) или \( dx = (x+1) du \). Перепишем интеграл с учетом подстановки: \[ \int_{\ln(2)}^{\infty} \frac{1}{u} du = \left. \ln|u| \right|_{\ln(2)}^{\infty} = \infty \] Так как интеграл расходится, ряд \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\ln(n+1)} \) также расходится.

Следовательно, данный ряд \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{\ln(n+1)} \) сходится условно.