Доказать, что ряд (х + 2)^2n от n=1 до бесконечности сходится неравномерно на интервале (- 3;-1)

Определение предмета и раздела:

Этот вопрос относится к математическому анализу, одной из ветвей математики, а именно к разделу теории рядов и их сходимости. Мы будем рассматривать не только сходимость ряда, но и изучать, является ли его сходимость равномерной на заданном интервале.

Условие задания:

Дан ряд: \[ \sum_{n=1}^{\infty} (x+2)^{2n} \]

Требуется доказать, что этот ряд сходится неравномерно на интервале (-3; -1).

Шаг 1: Перепишем ряд в более удобной форме

Давайте обозначим \( y = x + 2 \), тогда ряд становится: \[ \sum_{n=1}^{\infty} y^{2n}. \]

Теперь \( y \) варьируется в зависимости от того, как \( x \) меняется в интервале \( (-3; -1) \).

• При \( x = -3 \), получаем \( y = -1 \),
• При \( x = -1 \), получаем \( y = 1 \).

То есть на интервале \( (-3; -1) \) значение \( y \) варьируется в диапазоне \( (-1; 1) \).

В результате мы имеем ряд: \[ \sum_{n=1}^{\infty} y^{2n} = \sum_{n=1}^{\infty} (y^2)^n. \]

Этот ряд напоминает бесконечную геометрическую прогрессию с первым членом \( a = y^2 \) и знаменателем \( r = y^2 \).

Шаг 2: Исследуем сходимость ряда

Рассмотрим сумму бесконечной геометрической прогрессии. Геометрический ряд вида: \[ \sum_{n=0}^{\infty} r^n \] сходится только в том случае, если \( |r| < 1 \).

В нашем случае: \[ r = y^2. \]

Таким образом, ряд сходится при \( |y^2| < 1 \), что эквивалентно \( |y| < 1 \). Но мы знаем, что на интервале \( (-3; -1) \), значения \( y \) находятся в диапазоне \( (-1; 1) \). Значит, ряд сходится для каждого \( y \) из интервала \( (-1; 1) \).

Сумма этого ряда:

Его сумма может быть вычислена по формуле для суммы геометрической прогрессии: \[ S = \frac{r}{1 - r} = \frac{y^2}{1 - y^2}. \]

Итак, ряд имеет сумму: \[ S(y) = \frac{y^2}{1 - y^2}. \]

Шаг 3: Проверка на равномерную сходимость

Для проверки равномерной сходимости воспользуемся признаком Вейерштрасса. Сводится всё к следующему: необходимо найти общую оценку для каждого члена суммы, которая не зависит от \( y \), и соответствующий ряд должен сходиться.

Рассмотрим общий член ряда: \[ u_n(y) = (y^2)^n. \]

Для оценки сверху заметим, что при \( y \in (-1; 1) \), \( |y^2| < 1 \). Следовательно, чтобы исследовать сходимость равномерно, нужно максимизировать \( |y^2| \). Но при \( y \to 1 \) члены ряда становятся \( 1^n = 1 \), и мы получаем расхождение функции по \( y \), приближаясь к границе интервала. То есть: \[ u_n(y) \not\to 0 \text{ равномерно по } y, \text{ когда } y \to 1. \]

Это свидетельствует о том, что сходимость ряда не может быть равномерной на всём интервале.

Шаг 4: Вывод

Сходимость ряда \( \sum_{n=1}^{\infty} (x+2)^{2n} \) на интервале \( (-3; -1) \) неравномерная, так как при приближении \( y \) к 1 (что соответствует \( x \to -1 \)) члены ряда перестают удовлетворять условию равномерной сходимости (они не стремятся к нулю одинаково быстро для всех \( y \)).

Ответ: Ряд сходится неравномерно на интервале (-3; -1).