Чему равен радиус сходимости

Предмет: Математика

Раздел: Математический анализ

Данное задание относится к определению радиуса сходимости степенного ряда. Раскроем обозначение в задании и определим радиус сходимости для ряда вида \( \sum_{n=1}^{\infty} x^n / 13^n \). Для нахождения радиуса сходимости \( R \) степенного ряда \( \sum_{n=0}^{\infty} a_n (x - x_0)^n \) можно использовать критерий Коши-Адамара:

\[ \frac{1}{R} = \limsup_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|} \]

Или, эквивалентно, можно использовать тест д’Аламбера:

\[ \frac{1}{R} = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| \]

Где \( a_n \) — коэффициенты ряда. В нашем случае \( a_n = \frac{1}{13^n} \). Применим тест д’Аламбера:

\[ \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{1 / 13^{n+1}}{1 / 13^n} \right| = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{1}{13^{n+1}} \cdot \frac{13^n}{1} \right| = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{1}{13} \right| = \frac{1}{13} \]

Радиус сходимости \( R \) будет равен:

\[ R = \frac{1}{\left( \frac{1}{13} \right)} = 13 \]

Таким образом, радиус сходимости данного ряда равен 13.