Установите, имеет ли заданная функция экстремум в точке M.

Пример 1:

Установите, имеет ли заданная функция z = 3x² + 4y³ + 2xy - x экстремум в точке M(2; 3), если не имеет, то почему?

Решение от преподавателя:

1. Найдем частные производные. 


2. Решим систему уравнений. 
6*x+2*y-1 = 0 
2*x+12*y² = 0 
Получим: 
а) Из 2-го уравнения выражаем x и подставляем в 1- уравнение: 
x = -6*y² 
-36*y²+2*y-1 = 0 , дискриминант отрицательный ,уравнение корней не имеет
Для данной системы уравнений нет корней. 
б) Из первого уравнения выражаем y и подставляем во второе уравнение: 


или 
108*x²-34*x+3 = 0 
Для данной системы уравнений нет корней. 
Количество критических точек равно 0. 
Точка М не является критической. Функция может иметь экстремум только в критических точках, значит в точке М(2,3) экстремума нет.