Производственная функция Кобба-Дугласа.

Пример 1:

Рассмотрим некоторое производство, которое описывается с помощью функции Кобба-Дугласа. Основные фонды оцениваются в х₁ руб., численность работников составляет х₂ человек. Средняя производительность труда z=y/х₂ руб. Известно также, что для увеличения выпуска продукции на Δy требуется увеличить стоимость фондов на Δх₁ или численность работников на Δх₂.

Требуется построить для данного предприятия производственную функцию, определив коэффициенты эластичности.

         х₁= 25 млрд. руб.        х₂= 10000 чел.    z=50000 руб.

         Δy = 2%     Δх₁=4%      Δх₂=8%

Решение от преподавателя:

Построим производственную функцию Кобба-Дугласа:

Поскольку коэффициенты α и β имеют смысл коэффициентов эластичности, то после их определения, нам будут известны коэффициенты ПФКД.

Обозначим для простоты К = х₁ – затраченный капитал, L = х₂ –труд.

По условиям задачи затраченный капитал х₁ = 25 млрд.руб. = 2,5·10¹⁰ руб., труд х₂ = 10000 чел = 10⁴ чел. Средняя производительность труда Z = y/х₂= 50000 руб = 5·10⁴ руб, следовательно, объем произведенной продукции в стоимостном выражении у = х₂∙Z = 10⁴∙5·10⁴ = 5·10⁸ руб.

Запишем ПФКД в относительных приращениях:

где

          - прирост объема продукции,

         - прирост фондов,

         - прирост трудовых ресурсов.        

Из условий задачи для увеличения выпуска на 2%, то есть следует увеличить стоимость фондов на 4%, то есть , прирост трудовых ресурсов равен 0%, т.е. . Уравнение примет вид:

Этого же прироста можно достичь, если увеличить численность работников на 8%, то есть . Уравнение примет вид:

Получаем коэффициенты эластичности, или, что то же самое, коэффициенты модели ПФКД: α=0.5, β=0.25, α + β = 0.75.

ПФКД, учитывая, что затраченный капитал К = х₁, труд L = х₂, примет вид:

Найдем теперь коэффициент А:

Тогда производственная функция примет вид:

Ответ: .