Продукция двух видов (краска для внутренних (I) и наружных (Е) работ) поступает в оптовую продажу.

Пример 1:

Продукция двух видов (краска для внутренних (I) и наружных (Е) работ) поступает в оптовую продажу. Для производства красок используются два исходных продукта А и I). Максимально возможные суточные запасы этих

продуктов составляют 6 и 8 тонн соответственно. Расходы продуктов А и В на 1 т соответствующих красок приведены ниже.

Изучение рынка сбыта показало, что суточный спрос на краску I никогда не превышает спроса на краску Е более чем на 1 т. Кроме того, установлено, что спрос на краску I никогда не превышает 2 т в сутки. Оптовые цены одной тонны красок равны: 3000 ден. ед. для краски Е и 2000 ден. ед. для краски I. Какое количество краски каждого вида должна производить фабрика, чтобы доход от реализации продукции был максимальным? Построить экономико- математическую модель задачи, получить решение графическим методом.

Решение от преподавателя:

Введем следующие переменные:

Х₁ – количество краски Е (т);

Х₂ – количество краски I (т).

 Цена краски Е составляет 3000 (ден. ед.), а цена краски I –2000 (ден. ед.).  Необходимо максимизировать целевую функцию:

Введены следующие ограничения:

Х₁+2Х₂≤6;

2Х₁+Х₂≤8;

Х₂≤2;

Х₂-Х₁≤1.

Шаг №1. Построим область допустимых решений, т.е. решим графически систему неравенств. Для этого построим каждую прямую и определим полуплоскости, заданные неравенствами (полуплоскости обозначены штрихом). Построим уравнение x₁+2x₂ = 6 по двум точкам. Для нахождения первой точки приравниваем x₁ = 0. Находим x₂ = 3. Для нахождения второй точки приравниваем x₂ = 0. Находим x₁ = 6. Соединяем точку (0;3) с (6;0) прямой линией. Определим полуплоскость, задаваемую неравенством. Выбрав точку (0; 0), определим знак неравенства в полуплоскости:1 · 0 + 2 · 0 - 6 ≤ 0, т.е. x₁+2x₂ - 6≤ 0 в полуплоскости ниже прямой.
Построим уравнение 2x₁+x₂ = 8 по двум точкам. Для нахождения первой точки приравниваем x₁ = 0. Находим x₂ = 8. Для нахождения второй точки приравниваем x₂ = 0. Находим x₁ = 4. Соединяем точку (0;8) с (4;0) прямой линией. Определим полуплоскость, задаваемую неравенством. Выбрав точку (0; 0), определим знак неравенства в полуплоскости:2 · 0 + 1 · 0 - 8 ≤ 0, т.е. 2x₁+x₂ - 8≤ 0 в полуплоскости ниже прямой.
Построим уравнение x₁-x₂ = 1 по двум точкам. Для нахождения первой точки приравниваем x₁ = 0. Находим x₂ = -1. Для нахождения второй точки приравниваем x₂ = 0. Находим x₁ = 1. Соединяем точку (0;-1) с (1;0) прямой линией. Определим полуплоскость, задаваемую неравенством. Выбрав точку (0; 0), определим знак неравенства в полуплоскости:1 · 0 - 1 · 0 - 1 ≤ 0, т.е. x₁-x₂ - 1≤ 0 в полуплоскости ниже прямой.

или

Шаг №2.  Границы области допустимых решений.
Пересечением полуплоскостей будет являться область, координаты точек которого удовлетворяют условию неравенствам системы ограничений задачи.
Обозначим границы области многоугольника решений.

Шаг №3. Рассмотрим целевую функцию задачи
построим прямую, отвечающую значению функции f(x) = 3000x₁+2000x₂ = 0. Вектор-градиент, составленный из коэффициентов целевой функции, указывает направление максимизации f(X). Начало вектора – точка (0; 0), конец – точка (3000;2000). Будем двигать эту прямую параллельным образом. Поскольку нас интересует максимальное решение, поэтому двигаем прямую до последнего касания обозначенной области. На графике эта прямая обозначена пунктирной линией.

Решением неравенств будет являться полуплоскость, лежащая ниже пересекающихся прямых Х₁+2Х₂=6, 2Х₁+Х₂=8, Х₂=2, Х₂-Х₁=1.

При максимизации функции линия уровня перемещается по направлению вектору – градиенту.

После решения системы уравнений  

Х₁+2Х₂₌6

2Х₁+Х₂₌8

Находим, что Х₁=3,33, Х₂ = 1,33

Ответ:

Прибыль фирмы будет максимальной, т.е. 12650 ден. ед., если ежедневно будет производиться 3,33 т краски Е и 1,33 т краски I.