Предприниматель решил открыть новый цех по производству детских игрушек. При этом он готов на развитие этого цеха выделить 6 млн. руб.

Пример 1:

Предприниматель решил открыть новый цех по производству детских игрушек. При этом он готов на развитие этого цеха выделить 6 млн. руб. Известно, что если на аренду помещения и приобретение нового оборудования выделить х млн. руб., а на зарплату сотрудников у млн. руб., то прирост объема выпускаемой продукции составит  Как следует распределить выделяемые денежные средства, чтобы прирост выпускаемой продукции был максимальным?

Решение от преподавателя:

Очевидно, что мы имеем дело с задачей об оптимизации производства, в которой целевая функция – прирост объема выпускаемой продукции данным предприятием – описывается функцией двух переменных х и у вида:

Сведем решение последней задачи к исследованию функции одной переменной. По условию задачи на развитие фирмы предприниматель готов выделить 6 млн. руб., которые распределяются между суммой у млн. руб., выделяемой на приобретение нового оборудования, и суммой х млн. руб., выделяемой на выплату зарплаты сотрудникам предприятия, Очевидно, что x +y  =6. Разрешая последнее соотношение относительно у, получим y = 6-x. Полученное выражение подставляем вместо у в функцию прироста объема выпускаемой продукции. В результате имеем:

Функция u (x) определена на промежутке [0; 6]. Наибольшее значение функции на отрезке достигается либо на концах отрезка, либо в точках экстремума. Для нахождения экстремумов функции, продифференцируем ее:

Для нахождения точек экстремума функции, приравниваем полученную производную к нулю. Решая полученное уравнение, находим x = 1

Убедимся, что x =1 является точкой максимума функции. Для этого исследуем знак производной функции правее и левее этой точки.

при переходе через точку x =1 производная меняет знак с плюса на минус, что свидетельствует о том, что точка x =1 является точкой максимума.

Таким образом, прирост объема выпускаемой продукции будет максимальным, если на зарплату вновь принятых сотрудников будет выделено 1 млн. руб., а на покупку нового оборудования y = 6-x=6-1=5 млн. руб.