Метод Лагранжа для задач с ограничениями типа равенств.

Пример 1:

Найти экстремумы функции F(x, y) = 4x + 3y на множестве, заданном уравнением x² + y² = 1.

Решение от преподавателя:

Запишем задачу в стандартном виде

Составим для нее функцию Лагранжа

и вычислим частные производные

После этого нужно решать систему

Рассмотрим два случая.

a) Пусть λ₀ = 0. Тогда система принимает вид

Она разрешима лишь при λ₁ = 0. Следовательно, λ = (0, 0), и в этом случае подозрительных на экстремум точек нет.

б) Пусть . Тогда можно положить λ₀ = 1:

Из последней системы вытекает, что

Значит, λ₁ = ±5/2, и мы получаем две подозрительные на экстремум точки 

По условию задачи экстремумы целевой функции требуется найти на множестве, задаваемом уравнением x² + y² = 1, то есть на окружности. Поскольку окружность компактна, а целевая функция непрерывна, то по теореме Вейерштрасса она достигает своих максимума и минимума на этой окружности.

Для определения точек максимума и минимума найдем значения целевой функции F в подозрительных на экстремум точках:

Так как других подозрительных точек нет, то глобальный максимум достигается в точке (x, y) = (4/5; 3/5) и равен он 5, а глобальный минимум достигается в точке (x, y) = (−4/5; −3/5) и равен он −5.

Ответ: один глобальный максимум F(4/5; 3/5) = 5 и глобальный минимум F(−4/5; −3/5) = −5. Других локальных экстремумов нет.