Исследовать на экстремум функцию.

Главная
Высшая математика
Методы оптимизации
Исследовать на экстремум функцию.

Пример 1:

Исследовать функцию на экстремум и вычислить значение функции в точках экстремума:

Решение от преподавателя:

Решение.

Найдем частные производные.
$https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=\frac%7b%20\partial%20z%7d%7b%20\partial%20x%7d%20=%20-4\cdot%20x-4\cdot%20y%2B4$
$https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=\frac%7b%20\partial%20z%7d%7b%20\partial%20y%7d%20=%20-4\cdot%20x-6\cdot%20y%2B10$
2. Решим систему уравнений.
-4*x-4*y+4 = 0
-4*x-6*y+10 = 0
Получим:
а) Из первого уравнения выражаем x и подставляем во второе уравнение:
$https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=x%20=%20-3\cdot%20\frac%7by%7d%7b2%7d%2B\frac%7b5%7d%7b2%7d$
2*y-6 = 0
Откуда y = 3
Данные значения y подставляем в выражение для x. Получаем: x = -2
Количество критических точек равно 1.
M₁(-2;3)
3. Найдем частные производные второго порядка.
$https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=\frac%7b%20\partial%5e%7b2%7dz%7d%7b%20\partial%20x%20\partial%20y%7d%20=%20-4$
$https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=\frac%7b%20\partial%5e%7b2%7dz%7d%7b%20\partial%20x%5e%7b2%7d%7d%20=%20-4$
$https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=\frac%7b%20\partial%5e%7b2%7dz%7d%7b%20\partial%20y%5e%7b2%7d%7d%20=%20-6$
4. Вычислим значение этих частных производных второго порядка в критических точках M(x₀;y₀).
Вычисляем значения для точки M₁(-2;3)
$https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=A%20=%20%7b\frac%7b%20\partial%5e%7b2%7dz%7d%7b%20\partial%20x%5e%7b2%7d%7d%7d_%7b(-2;3)%7d%20=%20-4$
$https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=C%20=%20%7b\frac%7b%20\partial%5e%7b2%7dz%7d%7b%20\partial%20y%5e%7b2%7d%7d%7d_%7b(-2;3)%7d%20=%20-6$
$https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=B%20=%20%7b\frac%7b%20\partial%5e%7b2%7dz%7d%7b%20\partial%20x%20\partial%20y%7d%7d_%7b(-2;3)%7d%20=%20-4$
AC - B² = 8 > 0 и A < 0 , то в точке M₁(-2;3) имеется максимум z(-2;3) = 16
Вывод: В точке M₁(-2;3) имеется максимум z(-2;3) = 16;

Пример 2:

Исследуйте на экстремум функцию.

y = х² – 10х + 5

Решение от преподавателя:

Пример 3:

Найти экстремумы функций двух переменных

z = 2x³ + 6xy² – 30x – 24y.

Решение от преподавателя:

Пример 4:

Исследовать на экстремум:

Решение от преподавателя:

Необходимое условие экстремума функции одной переменной.

Уравнение f'₀(x*) = 0 - это необходимое условие экстремума функции одной переменной, т.е. в точке x* первая производная функции должна обращаться в нуль. Оно выделяет стационарные точки x_с, в которых функция не возрастает и не убывает.

Достаточное условие экстремума функции одной переменной.
Пусть f₀(x) дважды дифференцируемая по x, принадлежащему множеству D. Если в точке x* выполняется условие:
f'₀(x*) = 0
f''₀(x*) > 0
то точка x* является точкой локального (глобального) минимума функции.
Если в точке x* выполняется условие:
f'₀(x*) = 0
f''₀(x*) < 0
то точка x* - локальный (глобальный) максимум.
Решение.
Находим первую производную функции:
y' = 6x²+6x
или
y' = 6x(x+1)
Приравниваем ее к нулю:
6x²+6x = 0
x₁ = 0
x₂ = -1
Вычисляем значения функции
f(0) = -11
f(-1) = -10
Ответ:
f_min = -11, f_max = -10
Используем достаточное условие экстремума функции одной переменной. Найдем вторую производную:
y'' = 12x+6
Вычисляем:
y''(0) = 6>0 - значит точка x = 0 точка минимума функции.
y''(-1) = -6<0 - значит точка x = -1 точка максимума функции.

Пример 5:

Найти стационарные точки и исследовать на экстремум функцию

z = x² + y²– 2x – 2y+ 8

Решение от преподавателя:

Исследовать на экстремум функцию z = x² + y²– 2x – 2y+ 8

1. Найдем частные производные.
$https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=\frac%7b%20\partial%20z%7d%7b%20\partial%20x%7d%20=%202\cdot%20x-2$
$https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=\frac%7b%20\partial%20z%7d%7b%20\partial%20y%7d%20=%202\cdot%20y-2$
2. Решим систему уравнений.
2x-2 = 0
2y-2 = 0
Получим: x = 1, y = 1
критическая точка M₁(1;1)
3. Найдем частные производные второго порядка.
$https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=\frac%7b%20\partial%5e%7b2%7dz%7d%7b%20\partial%20x%20\partial%20y%7d%20=%200$
$https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=\frac%7b%20\partial%5e%7b2%7dz%7d%7b%20\partial%20x%5e%7b2%7d%7d%20=%202$
$https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=\frac%7b%20\partial%5e%7b2%7dz%7d%7b%20\partial%20y%5e%7b2%7d%7d%20=%202$
4. Вычислим значение этих частных производных второго порядка в критических точках M(x₀;y₀).
Вычисляем значения для точки M₁(1;1)
$https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=A%20=%20%7b\frac%7b%20\partial%5e%7b2%7dz%7d%7b%20\partial%20x%5e%7b2%7d%7d%7d_%7b(1;1)%7d%20=%202$
$https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=C%20=%20%7b\frac%7b%20\partial%5e%7b2%7dz%7d%7b%20\partial%20y%5e%7b2%7d%7d%7d_%7b(1;1)%7d%20=%202$
$https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=B%20=%20%7b\frac%7b%20\partial%5e%7b2%7dz%7d%7b%20\partial%20x%20\partial%20y%7d%7d_%7b(1;1)%7d%20=%200$
AC - B² = 4 > 0 и A > 0 , то в точке M₁(1;1) имеется минимум z(1;1) = 6
Вывод: В точке M₁(1;1) имеется минимум z(1;1) = 6;

Пример 6:

Исследовать на экстремум функцию:

Решение от преподавателя:

Пример 7:

Исследовать функцию z(x,y) на экстремум

Решение от преподавателя:

Пример 8:

Исследовать на экстремум функцию:

Решение от преподавателя:

Вычислим производную этой функции и найдем стационарные точки, в которых она обращается в нуль:

Решая это уравнение, находим корни x₁ = 1 и x₂ = 2. Они являются подозрительными на экстремум в данной задаче. При этом знаки производной нашей функции распределены следующим образом:

Согласно теореме о достаточном условии экстремума первого порядка, полученные точки являются точками локального экстремума, а именно: x₁ = 1 — точка локального максимума, причем f(x₁) = 11, а x₂ = 2 — точка локального минимума, причем f(x₂) = 10.

Глобальных экстремумов в этой задаче нет. Это видно из того, что

Итак, локальный максимум достигается в точке x = 1 и равен 11, локальный минимум достигается в точке x = 2, и равен 10.

Пример 9:

Исследуйте на экстремум функцию z = z(x;y).

Решение от преподавателя:

Пример 10:

Исследовать на экстремум:

y = (2*x-8)*(9*x+1)

Решение от преподавателя:

Необходимое условие экстремума функции одной переменной.

Пусть f₀(x) дважды дифференцируемая по x, принадлежащему множеству D. Если в точке x* выполняется условие:
f'₀(x*) = 0
f''₀(x*) > 0
то точка x* является точкой локального (глобального) минимума функции.
Если в точке x* выполняется условие:
f'₀(x*) = 0
f''₀(x*) < 0
то точка x* - локальный (глобальный) максимум.
Решение.
Находим первую производную функции:
y' = 36x-70
Приравниваем ее к нулю:
36x-70 = 0
$https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=x_%7b1%7d%20=%20\frac%7b35%7d%7b18%7d$
Вычисляем значения функции
$https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=f(\frac%7b35%7d%7b18%7d)%20=%20-\frac%7b1369%7d%7b18%7d$
Используем достаточное условие экстремума функции одной переменной. Найдем вторую производную:
y'' = 36
Вычисляем:
$https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=y%5e%7b\prime%20\prime%7d(\frac%7b35%7d%7b18%7d)%20=%2036%3E0$
значит эта точка - минимума функции.

Пример 11:

Найти экстремумы функции z(x,y) при данном условии:

Решение от преподавателя:

Пример 12:

Исследовать на экстремум функцию:

Решение от преподавателя:

Найдем производную f′ (x) = e^x − e^−x . Чтобы найти критические точки функции f(x), приравняем эту производную к нулю:

Очевидно, что точка x = 0 является решением последнего уравнения. Функция f′(x) строго возрастает (поскольку ). Поэтому она отрицательна при x < 0 и положительна при x > 0.

Следовательно, точка x = 0 является точкой строгого локального минимума функции f(x), и f(0) = 2 — соответствующее минимальное значение.

В данной ситуации можно также применить теорему о достаточном условии экстремума второго порядка. Поскольку f′′(0) = 2 > 0, функция f(x) имеет строгий локальный минимум в точке x = 0.

Кроме того, этот минимум глобальный, потому что

Ответ: точка x = 0 является точкой глобального минимума для исследуемой функции и f_min = f(0) = 2.

Пример 13:

Найти наибольшее и наименьшее значения функции z(x,y) в области D:

Решение от преподавателя:

Пример 14:

Исследовать на экстремум функцию:

y = x³+6*x²-4, [-4;1].

Решение от преподавателя:

Необходимое условие экстремума функции одной переменной.

Ответ: f_min = -4, f_max = 28.

Пример 15:

Исследовать на экстремум функцию

Решение от преподавателя:

Как обычно, начнем с нахождения производной исследуемой функции и точек, подозрительных на экстремум:

Легко видеть, что точка x = 0 является критической.

Найдем вторую производную:

Очевидно, f′′(0) = 0. Воспользуемся теоремой о достаточном условии экстремума n-го порядка и будем дифференцировать функцию до того момента, пока не появится отличная от нуля производная:

Значит, x = 0 — точка локального минимума функции f(x).

Из предыдущего примера следует, что при . В то же время . Поэтому f′′(x) > 0 при . Отсюда следует, что производная f′(x) обращается в нуль в единственной точке x = 0.

Так как , минимум в точке x = 0 является глобальным.

Ответ: есть один глобальный минимум f(0) = 4.

Пример 16:

С помощью второй производной исследуйте на экстремум функцию . Найдите наибольшее М и наименьшее m значения этой функции на отрезке [-1, 2].

Решение от преподавателя:

Определяем критические точки

Определяем вторую производную функции

Определяем знаки второй производной в критических точках

Т. к. вторая производная положительная, то в точке х=0 минимум

Т. к. вторая производная отрицательная, то в точке х=1 максимум

Наибольшее М и наименьшее m значения этой функции на отрезке [-1, 2]

Т. к. обе критические точки принадлежат указанному отрезку, то определяем значения функции в полученных точках и на концах отрезка

Т. о., М=у(-1)=6 m=у(2)=-3

Пример 17:

Исследовать на экстремум функцию:

Решение от преподавателя:

Подозрительные на экстремум точки найдем с помощью леммы Ферма. Так как

то единственная подозрительная на экстремум точка (в которой все частные производные обращаются в нуль) — это точка a = (3, −2, −1).

Определим, есть ли в этой точке экстремум. Для этого найдем все частные производные второго порядка

и составим из них матрицу полной второй производной f′′(a):

Главные миноры этой матрицы чередуют знаки:

По теореме (достаточное условие экстремума второго порядка) в точке a локальный максимум. Ответ: локальный максимум достигается в точке a = (3, −2, −1) и равен 14.

Ответ: локальный максимум достигается в точке a = (3, −2, −1) и равен 14.

Пример 18:

Найти экстремумы функции:

Решение от преподавателя:

Подозрительные на экстремум точки найдем с помощью леммы Ферма. Так как

то единственной стационарной точкой будет точка a = (0, 0).

Посмотрим, есть ли в ней экстремум. Для этого вычислим частные производные второго порядка

и составим из них матрицу второй производной в точке a:

Очевидно, ее определитель равен нулю. Значит, достаточные условия экстремума из теоремы (достаточное условие экстремума второго порядка) в данном случае не применимы.

Придется использовать определение экстремума. Рассмотрим разность . Она больше нуля при всех y > 0 и меньше нуля при y < 0. Поэтому в точке a = (0, 0) нет экстремума.

Ответ: у функции f нет экстремумов.

Пример 19:

Найти экстремумы функции

Решение от преподавателя:

Очевидно,

и единственная стационарная точка — это a = (0, 0).

Далее вычисляем частные производные второго порядка

и выписываем матрицу второй производной в точке a:

Ее определитель равен нулю. Достаточные условия экстремума опять не работают. С другой стороны, . Поэтому в точке (0, 0) глобальный минимум.

Ответ: есть один глобальный минимум f(0, 0) = 0.

Пример 20:

Исследовать на экстремумы функцию.

Решение от преподавателя:

Работа вам нужна срочно. Не волнуйтесь, уложимся!

Заполните, пожалуйста, данные для автора:

22423 авторов готовы помочь тебе.
2402 онлайн

Время — это деньги!

Исследовать на экстремум функцию.

Пример 1:

Решение от преподавателя:

Пример 2:

Решение от преподавателя:

Пример 3:

Решение от преподавателя:

Пример 4:

Решение от преподавателя:

Пример 5:

Решение от преподавателя:

Пример 6:

Решение от преподавателя:

Пример 7:

Решение от преподавателя:

Пример 8:

Решение от преподавателя:

Пример 9:

Решение от преподавателя:

Пример 10:

Решение от преподавателя:

Пример 11:

Решение от преподавателя:

Пример 12:

Решение от преподавателя:

Пример 13:

Решение от преподавателя:

Пример 14:

Решение от преподавателя:

Пример 15:

Решение от преподавателя:

Пример 16:

Решение от преподавателя:

Пример 17:

Решение от преподавателя:

Пример 18:

Решение от преподавателя:

Пример 19:

Решение от преподавателя:

Пример 20:

Решение от преподавателя:

Работа вам нужна срочно. Не волнуйтесь, уложимся!

Заполните, пожалуйста, данные для автора:

Виды работ: