Задание задает вопрос про обратный элемент по умножению для многочленов

Предмет: Математика

Раздел: Алгебра (Поля и кольца)

Задание задает вопрос про обратный элемент по умножению для многочленов.

Обратный элемент по умножению

Обратный элемент по умножению для какого-либо элемента \(a\) — это элемент \(b\), такой что произведение \(a \cdot b = 1\). Другими словами, обратный элемент по умножению — это то число (или выражение), которое необходимо умножить на исходное, чтобы получить единицу.

Определение для многочленов

Многочлен — это выражение вида \( a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_1 x + a_0 \), где \(a_i\) — коэффициенты, и \(x\) — переменная. Чтобы существовал обратный элемент по умножению для какого-то многочлена, этот многочлен должен быть ненулевым. Если многочлен равен нулю (\(0\)), то для него не существует обратного элемента по умножению, так как не существует числа, которое можно было бы умножить на нуль, чтобы получить единицу.

Разбор вариантов:

• Определен только для многочленов нулевой степени. - Неправильно. Обратный элемент по умножению существует не только для многочленов нулевой степени (константных многочленов), но для всех ненулевых многочленов. Даже многочлены высших степеней могут иметь обратные элементы.
• Определен для всех многочленов, кроме нулевого. - Верно. Это правильное утверждение, так как обратный элемент по умножению определен для всех многочленов, кроме нулевого.
• Неопределен для всех многочленов. - Неправильно. Обратный элемент существует для всех ненулевых многочленов.

Ответ:

Правильное утверждение: - "Определен для всех многочленов, кроме нулевого".