Задание включает несколько вопросов, имеющих отношение к основным операциям с векторами

Данный документ относится к предмету линейная алгебра, а конкретнее к разделу векторная алгебра. Задание включает несколько вопросов, имеющих отношение к основным операциям с векторами, таким как проекции, углы между векторами, вычисления длины, площади и т.д. Рассмотрим каждый из вопросов по порядку:

1. Проекция вектора \( a \) на направление вектора \( p \)

Проекция вектора \( \vec{a} \) на вектор \( \vec{p} \) вычисляется по формуле:

\[ \text{proj}_{\vec{p}} \vec{a} = \frac{\vec{a} \cdot \vec{p}}{\|\vec{p}\|^2} \cdot \vec{p} \]

Чтобы рассчитать проекцию, нужно найти скалярное произведение векторов \( \vec{a} \) и \( \vec{p} \), а также квадрат длины вектора \( \vec{p} \). Для этого потребуются выражения для векторов \( a \) и \( p \) из текста задания.

2. Угол между векторами \( b \) и \( p \)

Угол между двумя векторами \( \vec{b} \) и \( \vec{p} \) можно найти, используя формулу для скалярного произведения векторов:

\[ \cos \theta = \frac{\vec{b} \cdot \vec{p}}{\|\vec{b}\| \|\vec{p}\|} \]

Для вычисления понадобится скалярное произведение \( \vec{b} \cdot \vec{p} \) и длины векторов \( b \) и \( p \).

3. Длины диагоналей параллелограмма, построенного на векторах \( a \) и \( b \)

Параллелограмм на векторах \( \vec{a} \) и \( \vec{b} \) имеет две диагонали:

• Первая диагональ равна \( \vec{a} + \vec{b} \),
• Вторая диагональ — \( \vec{a} - \vec{b} \).

Длины этих диагоналей вычисляются как длина соответствующего вектора:

\[ \|\vec{a} + \vec{b}\| = \sqrt{(\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} + \vec{b})} \]

\[ \|\vec{a} - \vec{b}\| = \sqrt{(\vec{a} - \vec{b}) \cdot (\vec{a} - \vec{b})} \]

4. Площадь треугольника, построенного на диагоналях параллелограмма

Площадь параллелограмма, построенного на векторах \( \vec{a} \) и \( \vec{b} \), вычисляется через векторное произведение:

\[ S_{\text{параллелограмма}} = \|\vec{a} \times \vec{b}\| \]

Площадь треугольника будет составлять половину этой площади:

\[ S_{\text{треугольника}} = \frac{1}{2} S_{\text{параллелограмма}} = \frac{1}{2} \|\vec{a} \times \vec{b}\| \]

5. Высота треугольника, опущенная на сторону \( \vec{a} + \vec{b} \)

Высота треугольника \( h \), опущенная на сторону, соответствующую вектору \( \vec{a} + \vec{b} \), вычисляется по формуле:

\[ h = \frac{2 \cdot S_{\text{треугольника}}}{\|\vec{a} + \vec{b}\|} \]

Здесь \( S_{\text{треугольника}} \) — это уже вычисленная площадь треугольника, а \( \|\vec{a} + \vec{b}\| \) — длина стороны треугольника.

6. Образуют ли векторы \( p \), \( q \), и \( a \) базис в пространстве

Векторы \( \vec{p}, \vec{q}, \vec{a} \) образуют базис, если они линейно независимы. Для проверки линейной независимости можно составить матрицу, строки или столбцы которой — это координаты векторов, и найти её определитель:

\[ \text{det} \begin{pmatrix} p_x & p_y & p_z \\ q_x & q_y & q_z \\ a_x & a_y & a_z \end{pmatrix} \]

Если определитель матрицы отличен от нуля, то векторы линейно независимы и образуют базис.

7. Укажите координаты вектора \( d_1 = a + b \) в базисе \( (p, q) \)

Для нахождения координат вектора \( d_1 \) в базисе \( \vec{p}, \vec{q} \) нужно решить систему линейных уравнений вида:

\[ d_1 = \lambda_1 \vec{p} + \lambda_2 \vec{q} \]

Результирующие коэффициенты \( \lambda_1 \) и \( \lambda_2 \) станут координатами вектора \( d_1 \) в базисе \( (\vec{p}, \vec{q}) \).

Для выполнения задания потребуется более точное выражение координат векторов \( \vec{a}, \vec{b}, \vec{p}, \vec{q} \) и некоторые дополнительные вычисления.