Задание включает несколько вопросов, имеющих отношение к основным операциям с векторами

Данный документ относится к предмету линейная алгебра, а конкретнее к разделу векторная алгебра. Задание включает несколько вопросов, имеющих отношение к основным операциям с векторами, таким как проекции, углы между векторами, вычисления длины, площади и т.д. Рассмотрим каждый из вопросов по порядку:

1. Проекция вектора $\text{(}a\text{)}$ на направление вектора $\text{(}p\text{)}$

Проекция вектора $\text{(}\overrightarrow{a}\text{)}$ на вектор $\text{(}\overrightarrow{p}\text{)}$ вычисляется по формуле:

$\text{[}{\text{proj}}_{\overrightarrow{p}}\overrightarrow{a}=\frac{\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{p}}{\parallel \overrightarrow{p}{\parallel }^2}\cdot \overrightarrow{p}\text{]}$

Чтобы рассчитать проекцию, нужно найти скалярное произведение векторов $\text{(}\overrightarrow{a}\text{)}$ и $\text{(}\overrightarrow{p}\text{)}$, а также квадрат длины вектора $\text{(}\overrightarrow{p}\text{)}$. Для этого потребуются выражения для векторов $\text{(}a\text{)}$ и $\text{(}p\text{)}$ из текста задания.

2. Угол между векторами $\text{(}b\text{)}$ и $\text{(}p\text{)}$

Угол между двумя векторами $\text{(}\overrightarrow{b}\text{)}$ и $\text{(}\overrightarrow{p}\text{)}$ можно найти, используя формулу для скалярного произведения векторов:

$\text{[}\cos \theta =\frac{\overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{p}}{\parallel \overrightarrow{b}\parallel \parallel \overrightarrow{p}\parallel }\text{]}$

Для вычисления понадобится скалярное произведение $\text{(}\overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{p}\text{)}$ и длины векторов $\text{(}b\text{)}$ и $\text{(}p\text{)}$.

3. Длины диагоналей параллелограмма, построенного на векторах $\text{(}a\text{)}$ и $\text{(}b\text{)}$

Параллелограмм на векторах $\text{(}\overrightarrow{a}\text{)}$ и $\text{(}\overrightarrow{b}\text{)}$ имеет две диагонали:

• Первая диагональ равна $\text{(}\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\text{)}$,
• Вторая диагональ — $\text{(}\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\text{)}$.

Длины этих диагоналей вычисляются как длина соответствующего вектора:

$\text{[}\parallel \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\parallel =\sqrt{(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})\cdot (\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})}\text{]}$

$\text{[}\parallel \overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\parallel =\sqrt{(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b})\cdot (\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b})}\text{]}$

4. Площадь треугольника, построенного на диагоналях параллелограмма

Площадь параллелограмма, построенного на векторах $\text{(}\overrightarrow{a}\text{)}$ и $\text{(}\overrightarrow{b}\text{)}$, вычисляется через векторное произведение:

$\text{[}{S}_{\text{параллелограмма}}=\parallel \overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}\parallel \text{]}$

Площадь треугольника будет составлять половину этой площади:

$\text{[}{S}_{\text{треугольника}}=\frac{1}{2}{S}_{\text{параллелограмма}}=\frac{1}{2}\parallel \overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}\parallel \text{]}$

5. Высота треугольника, опущенная на сторону $\text{(}\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\text{)}$

Высота треугольника $\text{(}h\text{)}$, опущенная на сторону, соответствующую вектору $\text{(}\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\text{)}$, вычисляется по формуле:

$\text{[}h=\frac{2\cdot S_{\text{треугольника}}}{\parallel \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\parallel }\text{]}$

Здесь $\text{(}{S}_{\text{треугольника}}\text{)}$ — это уже вычисленная площадь треугольника, а $\text{(}\parallel \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\parallel \text{)}$ — длина стороны треугольника.

6. Образуют ли векторы $\text{(}p\text{)}$, $\text{(}q\text{)}$, и $\text{(}a\text{)}$ базис в пространстве

Векторы $\text{(}\overrightarrow{p},\overrightarrow{q},\overrightarrow{a}\text{)}$ образуют базис, если они линейно независимы. Для проверки линейной независимости можно составить матрицу, строки или столбцы которой — это координаты векторов, и найти её определитель:

$\text{[}\text{det}\left(\begin{array}{ccc}{p}_x& p_y& p_z\\ q_x& q_y& q_z\\ a_x& a_y& a_z\end{array}\right)\text{]}$

Если определитель матрицы отличен от нуля, то векторы линейно независимы и образуют базис.

7. Укажите координаты вектора $\text{(}{d}_1=a+b\text{)}$ в базисе $\text{(}(p,q)\text{)}$

Для нахождения координат вектора $\text{(}{d}_1\text{)}$ в базисе $\text{(}\overrightarrow{p},\overrightarrow{q}\text{)}$ нужно решить систему линейных уравнений вида:

$\text{[}{d}_1={\lambda }_1\overrightarrow{p}+{\lambda }_2\overrightarrow{q}\text{]}$

Результирующие коэффициенты $\text{(}{\lambda }_1\text{)}$ и $\text{(}{\lambda }_2\text{)}$ станут координатами вектора $\text{(}{d}_1\text{)}$ в базисе $\text{(}(\overrightarrow{p},\overrightarrow{q})\text{)}$.

Для выполнения задания потребуется более точное выражение координат векторов $\text{(}\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{p},\overrightarrow{q}\text{)}$ и некоторые дополнительные вычисления.