Задание связано с понятием противоположного многочлена

Предмет: Математика

Раздел: Алгебра (Теория многочленов)

Задание связано с понятием противоположного многочлена.

Нам нужно выбрать все верные утверждения насчёт противоположного многочлена.

Что такое противоположный многочлен?

Противоположный многочлен \( -f(x) \) — это многочлен, все коэффициенты которого являются противоположными (взяты со знаком минус) к соответствующим коэффициентам исходного многочлена \( f(x) \).

Теперь давайте разберём утверждения:

1. Утверждение: Имеет такую же степень, что и соответствующий многочлен.

Это утверждение верно. Степень многочлена определяется наивысшей степенью переменной \( x \) в многочлене. Противоположный многочлен отличается от исходного только знаком коэффициентов, что не влияет на степень.

2. Утверждение: Коэффициенты противоположного многочлена противоположны коэффициентам многочлена.

Это утверждение также верно. Как уже было сказано, противоположный многочлен отличается от исходного лишь тем, что все его коэффициенты взяты со знаком минус.

3. Утверждение: Удовлетворяет равенству \( f(x) + (-f(x)) = (-f(x)) + f(x) = o(x) \).

Это верное утверждение. Действительно, сумма многочлена и его противоположного многочлена равна нулевому многочлену. Нулевой многочлен обозначают как \( o(x) \), что в данном случае можно трактовать как "нулевую функцию".

4. Утверждение: Для каждого многочлена существует и единственен.

Вывод: Все указанные утверждения верны.

Ответ:

• ☑️ Имеет такую же степень, что и соответствующий многочлен.
• ☑️ Коэффициенты противоположного многочлена противоположны коэффициентам многочлена.
• ☑️ Удовлетворяет равенству \( f(x) + (-f(x)) = (-f(x)) + f(x) = o(x) \).
• ☑️ Для каждого многочлена существует и единственен.

Это утверждение также верно. Противоположный многочлен всегда существует и единственен, так как для каждого многочлена можно однозначно определить его противоположный, просто сменив знаки всех коэффициентов.