Задание по определению линейных операторов

Это задание по линейной алгебре, а именно по теме линейных операторов.

Линейный оператор \( T \) удовлетворяет следующему свойству: \[ T(a \mathbf{u} + b \mathbf{v}) = a T(\mathbf{u}) + b T(\mathbf{v}) \] для любых векторов \(\mathbf{u}\) и \(\mathbf{v}\) и любых скаляров \(a\) и \(b\). Теперь проверим каждый оператор \( \tilde{A}, \tilde{B}, \tilde{C} \), для линейности.

1. Оператор \( \tilde{A} \):

\[\tilde{A}(x) = \begin{pmatrix} x_1 + 2x_2 \\ 6x_1 + x_2 \end{pmatrix} \]

Пусть \( \mathbf{x} = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} \) и \( \mathbf{y} = \begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \end{pmatrix} \). Проверим линейность:

\[ \tilde{A}(a \mathbf{x} + b \mathbf{y}) = \tilde{A} \left( \begin{pmatrix} a x_1 + b y_1 \\ a x_2 + b y_2 \end{pmatrix} \right) = \begin{pmatrix} a x_1 + b y_1 + 2(a x_2 + b y_2) \\ 6(a x_1 + b y_1) + (a x_2 + b y_2) \end{pmatrix} \]

Распределим:

\[ \tilde{A}\left(a \mathbf{x} + b \mathbf{y}\right) = \begin{pmatrix} a x_1 + b y_1 + 2a x_2 + 2b y_2 \\ 6a x_1 + 6b y_1 + a x_2 + b y_2 \end{pmatrix} \]

Теперь \( \tilde{A} ( \mathbf{x} ) \) и \( \tilde{A} ( \mathbf{y} ) \):

\[ \tilde{A}(\mathbf{x}) = \begin{pmatrix} x_1 + 2x_2 \\ 6x_1 + x_2 \end{pmatrix} \]

\[ \tilde{A}(\mathbf{y}) = \begin{pmatrix} y_1 + 2y_2 \\ 6y_1 + y_2 \end{pmatrix} \]

и

\[ a \tilde{A}(\mathbf{x}) + b \tilde{A} (\mathbf{y}) = a \begin{pmatrix} x_1 + 2x_2 \\ 6x_1 + x_2 \end{pmatrix} + b \begin{pmatrix} y_1 + 2y_2 \\ 6y_1 + y_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a x_1 + 2a x_2 + b y_1 + 2b y_2 \\ 6a x_1 + a x_2 + 6b y_1 + b y_2 \end{pmatrix} \]

Получили одно и то же:

\[ \tilde{A} \left(a \mathbf{x} + b \mathbf{y}\right) = a \tilde{A} (\mathbf{x}) + b \tilde{A} (\mathbf{y}) \]

Следовательно, оператор \( \tilde{A}(x) \) является линейным.

2. Оператор \( \tilde{B} \):

\[ \tilde{B}(x) = \begin{pmatrix} 5x_1 + 8x_2 \\ 2 - x_1 - x_2 \end{pmatrix} \]

Проверяем линейность:

\[ \tilde{B}(a \mathbf{x} + b \mathbf{y}) = \tilde{B} \left( \begin{pmatrix} a x_1 + b y_1 \\ a x_2 + b y_2 \end{pmatrix} \right) = \begin{pmatrix} 5a x_1 + 5b y_1 + 8a x_2 + 8b y_2 \\ 2 - (a x_1 + b y_1) - (a x_2 + b y_2) \end{pmatrix} \]

и

\[ \tilde{B}(\mathbf{x}) = \begin{pmatrix} 5x_1 + 8x_2 \\ 2 - x_1 - x_2 \end{pmatrix} \]

\[ \tilde{B}(\mathbf{y}) = \begin{pmatrix} 5y_1 + 8y_2 \\ 2 - y_1 - y_2 \end{pmatrix} \]

Но

\[ a \tilde{B}(\mathbf{x}) + b \tilde{B} (\mathbf{y}) = a \begin{pmatrix} 5x_1 + 8x_2 \\ 2 - x_1 - x_2 \end{pmatrix} + b \begin{pmatrix} 5y_1 + 8y_2 \\ 2 - y_1 - y_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5ax_1 + 8ax_2 + 5by_1 + 8by_2 \\ 2a - ax_1 - ax_2 + 2b - by_1 - by_2 \end{pmatrix} \]

Так как \( \tilde{B}(x) \) не удовлетворяет свойству линейности \(B(x) \neq a \tilde{B}(x) + b \tilde{B}(y) \). Это оператор не является линейным.

3. Оператор \( \tilde{C} \):

\[ \tilde{C}(x) = \begin{pmatrix} x_2 \\ x_1 + 2x_2 \end{pmatrix} \]

Проверим линейность:

\[ \tilde{C} (a \mathbf{x} + b \mathbf{y}) = \tilde{C} \left( \begin{pmatrix} a x_1 + b y_1 \\ a x_2 + b y_2 \end{pmatrix} \right) = \begin{pmatrix} a x_2 + b y_2 \\ a x_1 + b y_1 + 2a x_2 + 2b y_2 \end{pmatrix} \]

И \( \tilde{C}(\mathbf{x}) \) и \( \tilde{C} (\mathbf{y}) \):

\[ \tilde{С} (\mathbf{x}) = \begin{pmatrix} x_2 \\ x_1 + 2x_2 \end{pmatrix} \]

\[ \tilde{С} (\mathbf{y}) = \begin{pmatrix} y_2 \\ y_1 + 2y_2 \end{pmatrix} \]

\[ a \tilde{С} (\mathbf{x}) + b \tilde{С} (\mathbf{y}) = a \begin{pmatrix} x_2 \\ x_1 + 2x_2 \end{pmatrix} + b \begin{pmatrix} y_2 \\ y_1 + 2y_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a x_2 + b y_2 \\ a x_1 + 2a x_2 + b y_1 + 2b y_2 \end{pmatrix} \]

Поскольку у нас совпали выражение \( \tilde{C}(x) \) это оператор является линейным.

Таким образом, линейные операторы это \( \tilde{А}(x) \) и \( \tilde{\mathbf{C}} (x) \).