Задание по определению линейных операторов

Условие:

Решение:

Это задание по линейной алгебре, а именно по теме линейных операторов. Линейный оператор \( T \) удовлетворяет следующему свойству: \[ T(a \mathbf{u} + b \mathbf{v}) = a T(\mathbf{u}) + b T(\mathbf{v}) \] для любых векторов \(\mathbf{u}\) и \(\mathbf{v}\) и любых скаляров \(a\) и \(b\). Теперь проверим каждый оператор \( \tilde{A}, \tilde{B}, \tilde{C} \), для линейности. 1. Оператор \( \tilde{A} \): \[\tilde{A}(x) = \begin{pmatrix} x_1 + 2x_2 \\ 6x_1 + x_2 \end{pmatrix} \] Пусть \(\mathbf{x} = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix}\) и \(\mathbf{y} = \begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \end{pmatrix}\). Проверим линейность: \[ \tilde{A}(a \mathbf{x} + b \mathbf{y}) = \tilde{A} \left( \begin{pmatrix} a x_1 + b y_1 \\ a x_2 + b y_2 \end{pmatrix} \right) = \begin{pmatrix} a x_1 + b y_1 + 2(a x_2 + b y_2) \\ 6(a x_1 + b y_1) + (a x_2 + b y_2) \end{pmatrix} \] Распределим: \[ \tilde{A}\left(a \mathbf{x} + b \mathbf{y}\right) = \begin{pmatrix} a x_1 + b y_1 + 2a x_2 + 2b y_2 \\ 6a x_1 + 6b y_1 + a x_2 + b y_2 \end{pmatrix} \] Теперь \(\tilde{A} ( \mathbf{x} )\) и \(\tilde{A} ( \mathbf{y} )\): \[ \tilde{A}(\mathbf{x}) = \begin{pmatrix} x_1 + 2x_2 \\ 6x_1 + x_2 \end{pmatrix} \] \[ \tilde{A}(\mathbf{y}) = \begin{pmatrix} y_1 + 2y_2 \\ 6y_1 + y_2 \end{pmatrix} \] и \[ a \tilde{A}(\mathbf{x}) + b \tilde{A} (\mathbf{y}) = a \begin{pmatrix} x_1 + 2x_2 \\ 6x_1 + x_2 \end{pmatrix} + b \begin{pmatrix} y_1 + 2y_2 \\ 6y_1 + y_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a x_1 + 2a x_2 + b y_1 + 2b y_2 \\ 6a x_1 + a x_2 + 6b y_1 + b y_2 \end{pmatrix} \] Получили одно и то же: \[ \tilde{A} \left(a \mathbf{x} + b \mathbf{y}\right) = a \tilde{A} (\mathbf{x}) + b \tilde{A} (\mathbf{y}) \] Следовательно, оператор \( \tilde{A} (x) \) является линейным. 2. Оператор \( \tilde{B} \): \[ \tilde{B}(x) = \begin{pmatrix} 5x_1 + 8x_2 \\ 2 - x_1 - x_2 \end{pmatrix} \] Проверяем линейность: \[ \tilde{B}(a \mathbf{x} + b \mathbf{y}) = \tilde{B} \left( \begin{pmatrix} a x_1 + b y_1 \\ a x_2 + b y_2 \end{pmatrix} \right) = \begin{pmatrix} 5a x_1 + 5b y_1 + 8a x_2 + 8b y_2 \\ 2 - (a x_1 + b y_1) - (a x_2 + b y_2) \end{pmatrix} \] \[ \tilde{B}(a \mathbf{x} + b \mathbf{y}) = \begin{pmatrix} 5a x_1 + 5b y_1 + 8a x_2 + 8b y_2 \\ 2 - ax_1 - b y_1 - a x_2 - b y_2 \end{pmatrix} \] \[ \tilde{B} (\mathbf{x}) = \begin{pmatrix} 5x_1 + 8x_2 \\ 2 - x_1 - x_2 \end{pmatrix} \] \[ \tilde{B} (\mathbf{y}) = \begin{pmatrix} 5y_1 + 8y_2 \\ 2 - y_1 - y_2 \end{pmatrix} \] Но \[ a \tilde{B}(\mathbf{x}) + b \tilde{B} (\mathbf{y}) = a \begin{pmatrix} 5x_1 + 8x_2 \\ 2 - x_1 - x_2 \end{pmatrix} + b \begin{pmatrix} 5y_1 + 8y_2 \\ 2 - y_1 - y_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5ax_1 + 8ax_2 + 5by_1 + 8by_2 \\ 2a - ax_1 - ax_2 + 2b - by_1 - by_2 \end{pmatrix} \] Так как \(\tilde{B}(x)\) не удовлетворяет свойству линейности \(B(x) \neq a \tilde{B}(x) + b \tilde{B}(y) \). Это оператор не является линейным. 3. Оператор \( \tilde{C} \): \[ \tilde{C}(x) = \begin{pmatrix} x_2 \\ x_1 + 2x_2 \end{pmatrix} \] Проверим линейность: \[ \tilde{C} (a \mathbf{x} + b \mathbf{y}) = \tilde{C} \left( \begin{pmatrix} a x_1 + b y_1 \\ a x_2 + b y_2 \end{pmatrix} \right) = \begin{pmatrix} a x_2 + b y_2 \\ a x_1 + b y_1 + 2a x_2 + 2b y_2 \end{pmatrix} \] И \(\tilde{C}(\mathbf{x})\) и \(\tilde{C} (\mathbf{y})\): \[ \tilde{С} (\mathbf{x}) = \begin{pmatrix} x_2 \\ x_1 + 2x_2 \end{pmatrix} \] \[ \tilde{С} (\mathbf{y}) = \begin{pmatrix} y_2 \\ y_1 + 2y_2 \end{pmatrix} \] \[ a \tilde{С} (\mathbf{x}) + b \tilde{С} (\mathbf{y}) = a \begin{pmatrix} x_2 \\ x_1 + 2x_2 \end{pmatrix} + b \begin{pmatrix} y_2 \\ y_1 + 2y_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a x_2 + b y_2 \\ a x_1 + 2a x_2 + b y_1 + 2b y_2 \end{pmatrix} \] \[ \left( a x_2 + b y_2, a x_1+ b y_1 + 2a x_2 + 2b y_2 \right) \] Поскольку у нас совпали выражение \(\tilde{C}(x)\) это оператор является линейным. Таким образом, линейные операторы это \( \tilde{А}(x) \ и \tilde{ \mathbf{C} руи (x)\).