Задание относится к разделу скалярное произведение и матрица Грама

Условие:

Решение:

Предмет данного задания — это линейная алгебра. В частности, задание относится к разделу, посвященному скалярному произведению и матрице Грама. Давайте решим задачу шаг за шагом. У нас есть ортонормированный базис \( e = \{e_1, e_2, e_3\} \) и матрица Грама \( G \), которая задается следующим образом: \[ G = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 \\ -1 & 5 & 0 \\ 1 & 0 & 4 \end{pmatrix} \] Матрица Грама содержит скалярные произведения базисных векторов между собой: \[ G_{ij} = \langle e_i, e_j \rangle \] Нам нужно найти скалярное произведение векторов \( e_1 \) и \( e_2 \). В матрице Грама это соответствует элементу \( G_{12} \) (или \( G_{21} \), поскольку матрица Грама симметрична). По заданной матрице видно, что: \[ G_{12} = -1 \] Таким образом, скалярное произведение векторов \( e_1 \) и \( e_2 \) равно -1. Ответ: \(-1\).