Задание на вычисление косинуса угла между векторами

Линейная алгебра: Матрицы и скалярное произведение

Это задание относится к предмету "Линейная алгебра", раздел "Матрицы и скалярное произведение". Задание заключается в вычислении косинуса угла между векторами \( e_1 \) и \( e_3 \) с использованием матрицы Грама, которая представлена в базисе \( e = \{ e_1, e_2, e_3 \} \). Матрица Грама \( G \) для указанных векторов дана как: \[ G = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 \\ -1 & 5 & 0 \\ 1 & 0 & 4 \end{pmatrix} \]

Для вычисления косинуса угла между векторами \( e_1 \) и \( e_3 \) нужно использовать элементы матрицы Грама: \[ \cos \theta = \frac{G_{13}}{\sqrt{G_{11} G_{33}}} \]

Здесь:

• \( G_{13} = 1 \) — элемент матрицы на пересечении первой строки и третьего столбца,
• \( G_{11} = 1 \) — элемент матрицы на пересечении первой строки и первого столбца,
• \( G_{33} = 4 \) — элемент матрицы на пересечении третьей строки и третьего столбца.

Теперь подставим эти значения в формулу: \[ \cos \theta = \frac{1}{\sqrt{1 \times 4}} = \frac{1}{\sqrt{4}} = \frac{1}{2} \]

Таким образом, косинус угла между векторами \( e_1 \) и \( e_3 \) равен \( 0.5 \).

Ответ: 0.5