Задание на нахождение собственного числа соответствующего собственному вектору

Условие:

Решение:

Предмет: Линейная алгебра. Раздел: Собственные значения и собственные векторы. Задание: Найти собственное число, соответствующее собственному вектору \( \mathbf{e}_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} \), для матрицы \( A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} \). ### Решение: Чтобы найти собственное число, соответствующее данному собственному вектору, мы используем определение собственных значений и собственных векторов: \[ A \mathbf{e}_1 = \lambda \mathbf{e}_1 \] где \( A \) — это матрица, \( \mathbf{e}_1 \) — собственный вектор, и \( \lambda \) — собственное значение. 1. **Запишем уравнение:** \[ \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} = \lambda \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} \] 2. **Выполним умножение матрицы на вектор:** \[ \begin{pmatrix} 1 \cdot 1 + 2 \cdot 1 \\ 2 \cdot 1 + 1 \cdot 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 + 2 \\ 2 + 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 3 \end{pmatrix} \] 3. **Теперь сравним полученное значение с правой частью уравнения:** \[ \begin{pmatrix} 3 \\ 3 \end{pmatrix} = \lambda \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} \] Из этого уравнения видно, что: \[ 3 = \lambda \cdot 1 \] Таким образом, собственное значение \( \lambda \) действительно равно 3. ### Ответ: Собственное число \( \lambda \), соответствующее собственному вектору \( \mathbf{e}_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} \), равно 3.